Reprise du message précédent :

 
Crétin !      

 
superbe post    
 
 
j'en ai le kiki tout dur qui tend vers l'infini du coup  

Souvenir de Terminale !!    
J'suis nostalgique...

 
Y'en a au moins un des deux qui se fout de ma gueule, là... non ? si ?

A noter que nul besoin d'exclure 1 explicitement en ce qui concerne la définition des nombres premiers : étant donné un entier naturel n et D(n) l'ensemble de ses diviseurs (distincts, puisque D(n) est un ensemble), n est premier si et seulement si Card(D(n)) = 2.

Moitié-moitié pour moi !!  

 
 
pareil

Merci les gars

 
Oh que si ! Il a été nécessaire d'exclure 1 des nombres premiers, notamment dans la définition : "il n'existe qu'une et une seule façon de décomposer un nombre en facteurs premiers".
 
Si tu inclus 1, tu autorises ça :
6 = 2 x 3
6 = 1 x 2 x 3
6 = 1 x 1 x 2 x 3
6 = 1 x 1 x 1 x 2 x 3
etc...
 
... ce qui fait, au final, une infinité de possibilités pour un nombre donné d'être décomposé en facteurs premiers. Ça gêne énormément de démonstrations

Il faudrait peut être signaler le plus gros problème rencontré concernant les nombres premiers (et évidemment le plus intéressant) :
 
A ce jour, il n'existe pas de fonction qui permette de dénombrer le n-ième nombre premier, ou, autrement dit, si vous voulez savoir quel est le nombre premier numéro 4 c'est simple (c'est le chiffre 7) mais si vous voulez le n° 557 898 637 989 il va falloir attendre qu'il soit dénombré par les ordinateurs qui décomposent en masse les nombres en facteurs premiers.
 
Soit F(n) une fonction qui pour tout n de N* donne la valeur p, le nombre premier de degré n, celui qui trouve l'expression de F(n) peut rentrer dans l'histoire des mathématiques...

drapal (si quelqu'un répond à la dernière question ...     )

 
Si quelqu'un répond à la dernière question, il a intérêt à la garder pour lui plutôt que la poster sur HFR

@fougnac : Sympa ton avatar. Tu lis le manga Berserk et/ou vu l'anime ?

 
Qu'est-ce que tu racontes ?  
 
D'après ma définition nul besoin d'exclure 1 explicitement Faudrait peut-être lire les messages entièrement des fois.

 
Et pourtant j'ai souvent lu qu'il fallait exclure 1, car il gênait un grand nombre de démonstrations

Il ne t'a pas contredit...

 
Et pourtant, si !
 

 
Lire c'est bien, reflechir c'est bien aussi. On exclut 1 que si la définition ne l'exclut pas elle-même comme la définition approximative : un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et lui-même. La définition que j'ai donnée n'a pas besoin d'exclure 1 explicitement simplement parce qu'elle caractérise les nombres premiers rigoureusement. Avec cette définition, il n'apparaît plus "étrange" d'exclure 1, puisque Card(D(1)) = 1 =/= 2.

Et je n'ai PAS dit "nul besoin d'exclure 1" mais "nul besoin d'exclure 1 explicitement" ce qui est totalement différent. Tu peux faire dire n'importe quoi à n'importe qui en ne quotant qu'incomplètement...

=/= = != ? lol

Ouais, ou "=/= == !=" tant qu'on y est.

 
Je reconnais que 1 n'a pas été considéré comme nombre premier parce que ça simplifiait bon nombre de démonstrations. Si on s'en tient à la définition "un nombre premier n'est divisible que par un et lui-même", alors 1 ne rentre pas dans la définition. 1 est divisible par 1 et par lui-même, mais "1" et "lui-même" sont confondus.
 
Par convention, on considère que les nombres 1 et 0 ne sont ni premiers, ni composés. Le nombre 1 a parfois été considéré comme premier, mais aujourd'hui, les mathématiciens ont préféré l'exclure de la primalité. La convention suivant laquelle 1 n'est pas premier simplifie l'énoncé de nombreux résultats, par exemple l'affirmation selon laquelle tout nombre entier supérieur à 1 ne peut s'écrire que d'une seule façon comme un produit de facteurs premiers.

 
C'est vrai, désolé de ne pas t'avoir complètement quoté
 
En fait, ça m'a toujours surpris qu'on exclue 1 des nombres premiers, mais j'ai compris pourquoi c'était nécessaire

 
Ça n'a plus rien de surprenant avec la définition que j'ai donnée plus : un nombre est premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts. C'est cette définition qui est généralement donnée dans les bouquins de maths, pas l'autre qui est plus longue et moins esthétique.

sans déconner ce topic de fou    
 

 
 
Oh, si, ça existe. Par contre elles ne sont absoluement pas utilisables en pratique donc dans un sens tu as raison.

 
Merci
 
Tiens, puisque tu as démontré toutes mes propositions, pourquoi tu n'as pas aussi démontré la divergence de la somme des inverses des nombres premiers ? (Je charrie... j'ai lu cette démonstration et j'ai vite décroché. Elle est ardue )

Excellent    
 
Et on ne sait vraiment pas lequel des deux est irrationel, d'une manière générale ?  

Je trouve assez irrationel de n'avoir rien compris à ce que tu as écris (moi qui comprends toujours tout ).

 
Bon je me suis un peu embrouillé dans mon dernier message à vouloir généraliser mais : desquels "deux" tu parles exactement ?
 
Je crois que Stephen s'est mal exprimé et qu'il voulait dire qu'on ne sait pas si (x^x) est irrationnel ou rationnel. Parce que c'est le seul nombre sur lequel il y a incertitude : x = sqrt(2) est évidemment irrationnel et (x^x)^x = 2 est évidemment rationnel.

Bon et en fait il y a un résultat qui nous permet de déterminer si x^x est irrationnel ou non : x^y est transcendant donc irrationnel quand x est algébrique (différent de 0 ou 1) et y est irrationnel. Comme sqrt(2) est irrationnel mais néanmoins algébrique, sqrt(2)^sqrt(2) est irrationnel.

 
Euh je vois pas.
 
"On ne sait pas lequel des deux est rationnel" -> "les deux" ça désigne quels nombres ?

 
 
Tu as écrit :  
 

 
On sait lequel des deux est rationnel : (x^x)^x. Pour l'autre on ne sait pas. Donc pour moi tu t'es mal exprimé.

 
Ben on n'a besoin nul part de supposer et on ne montre nul part que si x^x est rationnel (x^x)^x ne l'est pas.
 
Parce que si tu supposes admis que "si x^x est rationnel (x^x)^x ne l'est pas" et comme on vient de montrer que (x^x)^x = x^(x*x) = 2, alors par l'absurde x^x est nécessairement rationnel, ce qui lève tout doute.

Si p est rationnel et y irrationnel, p^y est irrationnel

 
J'ai édité mon message pour étayer. Je ne vois pas en quoi tu as besoin de supposer une telle chose. Si tu supposes une telle chose la question "on ne sait pas lequel des deux est rationnel" devient encore plus cocasse.  
 
(j'espère que tu suis bien parce que là c'est plus un problème d'algèbre mais de la logique propositionnel )

 
J'ai aucun problème avec ta démonstration. C'est juste le "on ne sait pas lequel des deux est rationnel" qui me gène. On le sait, c'est trivial.

 
Proposition : pour x = sqrt(2), (x^x)^x est rationnel.
 
Démonstration : (x^x)^x = 2.  
 
Par contre a priori je ne suis pas capable de dire si x^x est rationnel ou non (à moins de supposer un résultat tel que x^y est toujours irrationnel si x est entier/rationnel et y irrationnel).

Y'a pas de mal.
 
Sinon pour rebondir dans le genre y'a : e*pi ou e+pi est transcendant, mais on ne sait pas lequel (et ça pourrait être les deux).

 
C'était le sens de ma question. La réponse est-elle connue ?