Est ce que quelqu'un pourait-il me donner la démonstration prouvant qu'il n'existe (ou n'existe pas) de nombre  
R (R est rationel) tel que 1<R ????  
Merci Beaucoup !    
 
Ps: je demande ca parce qu'on ai sur un forum et quon peut parler de tout et n'importe quoi mdr  

à moi que je n'ai rien compris si tu parles des rationnels Q alors biensur il en existe des supérieurs à 1.
Par exemple 2,3,4,5 etc ou même 4/3 ...
Enfin ça me parait tellement évident que pour le démontrer .... !

Eu nan ta pas tres bien compris ma question lol! (question de premiere S)
je parle deja des rationels Q mais du plus proche de 1 en fait...
1<R
Pigé ...

un conseil mon garcon, calme toi :|

Si j'ai bien compris ce que tu veux dire, c'est de montrer que quel que soit le nombre rationel R>1, il existe un autre nombre rationel R' avec 1<R'<R
Si c'est ca, c'est facile : par exemple R' = (1+R)/2
R' est rationel et il est compris entre 1 et R. Donc, il n'existe pas de rationel qui soit "le plus proche" de 1
C'est ca que tu cherches ?

Tu as compris ma question mais bon moi j'ai pas compris ta démarche pour démontrer   lol

lol mdr son explication est claire pourtant lol trop mdr lolol

Ouai mais bon ze lé pas trop compris son explication !  D'ou i sor le R' ? et en plus comment i fait pour avoir  
R' = (1+R)/2, c'est lui qui lui atribue ?????

Oui en gros tu supposes que R est le rationnel le plus proche de 1. A partir de ce R tu crées le R' qui vérifie la relation 1<R'<R. Conclusion: on peut toujours trouver un rationnel encore plus petit, donc il n'y a pas de plus petit rationnel tel que 1<R.
PS : Evite le "SMS style"...

Donc en gros la démarche a faire est celle-ci :
 
  Soit R le nombre rationel le plus proche de 1 donc 1<R
  Et R'= (1+R)/2  le nombre vérifiant la relation 1<R'<R  
 
Il n'y a donc pas de plus petit rationel tel que 1<R.
 
J'aimerai juste savoir si ma réadtion est bonne parceque c'est un exercice de dm que j'ai a rendre .... Merci

je dirais plutôt :
 
Supposons que R soit le rationnel le plus proche de 1, c'est à dire que R est tel qu'il n'existe pas de rationnel x vérifiant 1 < x < R.
Soit R' = (1+R)/2. R' est rationnel, et on a 1 < R' < R, ce qui est absurde.
Il n'existe donc pas de rationnel le plus proche de 1.

Merci c'est exactement ce que je recherché ^^    

si tu veux tu construit R',R2,R3......A partir des intervalles [1,R],[R,R'],etc....
A chaque fois çà te donne un rationnel plus proche de 1 mais non égal à 1.

A oui en fait un dernier truc et apres je vous lache (lol) voila:
   1\ demontrer que si n est pair alors n² est pair
   2\ demontrer que si n est impair alors n² est impair
   3\ en deduire que si n² est pair alors n est pair et que si n² est impair alors n est impair.
 
Bon les 2 premieres question sont faciles voila leurs reponses:
 
Si n est pair,il existe un entier k tel que  n = 2k.
On a alors n^2=4k^2 soit n^2=2*(2k^2). Ceci montre  que  n^2  est  un nombre pair.
 
Si n est impair, il  existe  un  entier  k  tel  que  n=2k+1.  
Alors, n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 et n^2=2(2k^2+2k)+1, ce qui montre que n^2 est impair.
 
 
Mais je ne comprend pas trop ce ke veut le prof pour la 3eme question ....

bah c'est pas dur (lol), on se pose la question à l'envers (kikoo). au début on te demande "si n est pair, n² il est comment ?", et là on te demande "si n² est pair, n il est comment ?" (mdrrrrrrr)

  3\ en deduire que si n² est pair alors n est pair et que si n² est impair alors n est impair.
 
Mais je ne comprend pas trop ce ke veut le prof pour la 3eme question ....[/quotemsg]
 
si n² est pair alors il existe p entier naturel tel que n²=2p.Mais dans ce cas n²-1 est impair.Comme n²-1=(n-1)(n+1) alors
 
          (n-1)(n+1)=2p-1 et 2p-1 impair.  on sait que tout impair est produit d'impairs donc n-1 et n+1 sont impairs donc n est pair.
 
 
Démarche analogue pour n² impair

Oui je sais mais bon la question est vicieuse je ne vais pas réecrire ce que g prouve nan ???
Ou il faut juste que je dise:
 
   Sachant que losque n est pair alors n² est aussi pair on a donc n pair lorsque n² est pair ?!    (un peu facile)
   pareil pour n impair ????...

Merci à tous ceux qui ont clarifié ma réponse    
 
Dans ton problème : tu sais que :
 - si n est pair, n² aussi
 - si n est impair, n² aussi
 
Maintenant, si n² est pair : quelle sera la parité de n ? A priori, tu as deux possibilités
1) n est pair -> dans ce cas, tu sais que n² est pari OK
2) n est impair -> dans ce cas, n² est impair, contradition
 
Donc n est forcément pair (dans le cas n² pair)
 
Tu fais pareil pour n² impair et tu as la réponse à la question 3

Si n² est pair alors n ne peut être que pair car tu as démontré que si n était impair alors n² serait impair.

 
Oui ben formule la mieux parceque j'ai pas trouvé ça compréhensible ...

Mdr oui je sais c'était de ma faute désolé  

 
bahhhh...
 
quelque soit n naturel positif
 
(n+1)/n appartient à R
 
et 1 < (n+1)/n = 1 + 1/n
 
enfin bon...

A oui aussi un autre truc comment on démontre que (a+b)/2 est un nombre rationel tel que a<(a+b)/2<b sachant que a et b sont deux nombres rationels tels que a<b ???  
 
 

Comme a<b, alors a + b < b + b = 2b (on ajoute b des deux cotés de l'inégalité)
D'où, en divisant par 2 : (a+b)/2 < 2b/2 = b.
 
Pour l'autre inégalité, inspires-toi de ce que j'ai fait, c'est la même méthode.

Tu viens de démotrer que (a+b)/2 est rationel là non ????

Non, il  a démontré que (a+b)/2<b
Je pense que en premiere, pour démontrer que (a+b)/2 <b, tu démontres que (a+b)/2-b<0
Pour montrer ca : (a+b)/2-b = (a+b)/2-2b/2
                                       = (a-b)/2
                                       <0 car a<b
 
C'est exactement la même chose présentée de façon un tout petit peu différente.
Sinon, (a+b)/2 rationel, c'est évident : c'est une somme de nombres rationels

2a < a + b < 2 b
 
donc tu divises par 2 chaque terme (2 est positif strict donc ça ne change pas les inégalités)
a < (a+b)/2 < b
 
a et b rationnels donc a/2 et b/2 aussi donc (a+b)/2 aussi
 
si tu veux tout compliquer a = p/q, b = p'/q' donc (a+b)/2= (pq'+p'q)/(2qq')
 
p,q,p',q' € N donc  pq'+p'q € N et 2qq' aussi donc (a+b)/2 rationnel