Bonjour tout le monde ! En fait je voudrais savoir si la primitive d'une fonction continue et dérivable sur un intervalle (par exemple I) est elle aussi continue et derivable sur ce même intervalle I ? Si non  existe t'il des théorèmes permettant de démontrer ces propriétés à partir de celles de la fonction qu'on intègre ? Merci d'avance de vos réponses !

F(x) = racine carré(x) est continue et dérivable sur l'intervalle I=[0;+infini[
 
une primitive f de F : f(x) = 1/(2 x racine carré(x)) n'est pas définie sur I donc ni continue ni dérivable sur cet intervalle.

F(x) = racine carrée(x) est définie et continue sur [0;+inf[ mais elle est dérivable sur ]0;+inf[ (seulement!)  
 
En effet, elle n'est pas dérivable en zéro : on montre que son taux de variation en zéro a une limite infinie, donc il n'existe pas de nombre dérivé en zéro.
 
f(x) = 1/(2 racine carrée(x)) est la dérivée de F sur ]0;+inf[
 
Toute fonction f continue sur un intervalle I admet des primitives F sur cet intervalle et ces primitives sont continues (puisque la  dérivabilité implique la continuité : F est dérivable sur I de dérivée f, donc F est continue sur I ; réciproque fausse)
 
Les primitives de F sur [0;+inf[ sont les fonctions G(x) = (2/3) x^(3/2) + cte  
c'est à dire  G(x) = (2/3) x racine carrée (x) + cte
 
Toute fonction qui admet une primitove, en admet une infinité et elles sont toutes égales à une constante près.