Bonjour.
Il s'agit de voir si la fonction f=(somme de n=2 à l'infini des x* exp(-nx)/ln(n)) est ou non C° en 0.
J'ai fini par y arriver (mais j'ai cherché pas mal!!!!) , et je ne trouve pas que ma méthode soit particulièrement simple!!!
Donc je serais intéressé par vos méthodes (ou leurs étapes), car je suis toujours preneur de nouvelles idées.
Merci :-)

et bien il suffit de trouver la limite de la fonction quand x tend vers 0 par valeurs positives et par valeur negatives !

Tu veux pistes ou réponse complète?

Oui, mais cv unif sur tout compact de R+*....
1) Remarquer que, à x>0 fixé, la fonction qui à n associe fn(x) est une fonction décroissante (et positive) de n.
2) En déduire un encadrement (je garde un peu de mystère là) en intégrant convenablement sur [n,n+1] la fonction ft(x).

 
elle satisfait le critère de Cauchy uniforme sur R+ ...
Hp+1,q(x)=abs(sum(f(x), k=p+1 à q)) <= x/(ln(p+1) * sum(exp(-k*x),k=p+1 à q) = (x*exp(-(p+1)*x))/ln(p+1) *(1-exp(-(q-p)*x))/(1-exp(-x)) <= (x*exp(-x))/(1-exp(-x)) * 1/ln(p+1)
 
G(x)=(x*exp(-x))/(1-exp(-x)) est bornée sur R+, on pose M=sup(abs(G(x)))
donc Hp+1,q(x)<=M/ln(p+1) qui tend vers 0 quand p tend vers l'infini ... CQFD
 
par un théorème bien connu, la fonction est même continue sur R+ ...

Argh......C'est infiniment plus simple que ce que j'avais fait :-)))))
Effectivement, je n'avais pas pensé à prouver la cv uniforme sur R+, car je la faisais sur tout compact par cv normale...Ce qui ne marchait evidemment pas sur R+!
Vive le critère de Cauchy uniforme...
Je termine ma dem alors :
J'ai majoré par une intégrale généralisée (int(t=2,+00,ft(x) dt) à x fixé>0.
Puis je me suis bien amusé à montrer que cette intégrale généralisée tendait vers 0 quand x tendait vers 0.

En fait, je somme de 2 à l'infini,(f2(x) tend vers 0 en 0, donc pas de pb) pour éviter ln(1) au denominateur.
Puis je sépare intégrale généralisée en 2 :  
de 2 à 1/x² puis de 1/x² à l'infini. (prenons x<1/4)
De 1/x² a l'infini, pas de pb pour majorer par exp(-xt)
Entre 2 et 1/x², j'ai fait un changement de variable affine pour dégager les bornes dépendant de x.
Avec ça on s'en sort, mais c'est laborieux, non?...

Je l'ai écrit proprement : 1 page et demie, c'est sur que c'était pas le top comme méthode, mais bon, le Cauchy uniforme, je suis complètement passé à coté.
POur répondre à ta question :  
Je somme de k=3 à l'infini l'encadrement 0<=fk(x)<=int(n-1,n,ft(x)dt)
donc : f(x)-f2(x)<=l'intégrale généralisée
d'où : f(x)<=l'intégrale + f2(x), mais comme f2(x) tend vers 0 en 0, pas de pb.

En tout cas, cette question est intéressante. Je pensais plutôt à utiliser la Cv Uniforme au lieu de la normale lors des séries alternées ou lors de la transformation d'Abel...
Par ailleurs, ça donne un exemple intéressant de série à termes positifs qui cv Unif, mais pas normalement sur R+.
Nouvelle question alors : est-elle dérivable en 0...