Voila, je dois démontrer gràce à la récurrence que :
3^(2n+1) + 2^(n+2) est divisible par 7
 
_Alors tout d'abord je commence l'initialisation :
Je montre que Pn, l'expression ci dessus est vraie pour n =0
- Po : 3^(0+1) + 2^(2) = 7
7 est un diviseur de 7
Donc l'hypothèse de récurrence Pn est vraie
 
_C'est ici que je bloque pour l'hérédité  
Donc on pose n quelconque fixé, et par hyp de récurrence on a : Pn vraie,  
3^(2n+1) + 2^(n+2)= 7 x k
 
Donc P(n+1) : 3^(2n+3) + 2^(n+2) = 7k'
              3² x 3^(2n+1) + 2^(n+2) = 7k'
 
Puis c'est à ce calcule que je bloque, je n'arrive pas à retomber sur quelque chose qui ressemblerait à : 7k...
J'ai essayé de remplacer comme dans "3² x 3^(2n+1)", 2^(n+2) mais je vois pas
Quelqu'un aurait une astuce ?

Je ne suis pas très fort en maths mais j'ai fait pas mal d'exos sur la récurrence. Ton problème rassemble trop à un que j'ai fait en classe. J'espère que je ne me suis pas trompé en résoulant ton problème.
 
Si P(n) = 3^(2n+1) + 2^(n+2) est divisible par 7
Montrons que P(n+1) est aussi divisible par 7
 
P(n+1) = 3^(2(n+1)+1) + 2^((n+1)+2)
P(n+1) = 3^(2n+3) + 2^((n+3)
P(n+1) = 3^(2n+1) * 3^(2) + 2^(n+2) * 2
P(n+1) = 3^(2n+1) * 9 + 2^(n+2) * 2
P(n+1) = 3^(2n+1) * (7+2) + 2^(n+2) * 2   [astuce: 9 = 7 + 2]
P(n+1) = 7 * 3^(2n+1) + 2 * 3^(2n+1) + 2^(n+2) * 2
P(n+1) = 7 * 3^(2n+1) + 2 * (3^(2n+1) + 2^(n+2)) * 2
P(n+1) = 7 * 3^(2n+1) + 2 * P(n) * 2
 
A ce point, on a une addition où:
7 * 3^(2n+1) est divisible par 7
4 * P(n) est divisible par 7 car hypothèse de récurrence

Oui , ca a l'air juste, je regarde ca plus en détail
Merci infiniment

Y'a quelque chose dont je ne suis pas sur :
2 * 3^(2n+1) + 2^(n+2) * 2
2 * (3^(2n+1) + 2^(n+2)) * 2  
 
Le 2 ne comprends pas le 2e terme de l'expression ? Comment as - tu pu factoriser, car le 2x n'est que pour 3^(2n+1)

y a plantage, il n'y a qu'un *2 après factorisation mais ça ne change rien au raisonnement ni au résultat à part que c'est 2*P(n)/7 par HR et pas 4*P(n).

Y'a pas plantage, j'ai vérifié après avec un tuteur en maths au cas où. Regardes-y de près, et t'y verras que ça marche.
Là où tu ne comprends pas que je factorise, en fait j'ai mis les parenthèses pour que tu comprennes que je me ramenais à l'hypothèse de récurrence. Ce n'est donc pas une factorisation.