Salut,
 
 
 
Je me demandais, quand on écrit:
-f(x+h)=f(x) + h*f'(x) + h*e(h)               avec e(h) tend vers 0 avec h
-f(x+h)=f(x) + h*f'(x) + o(h)      
 
 
 
et qu'on écrit le developpement limité de f(x+h) en x au deuxième ordre par exemple:
-f(x+h)=f(x) + h*f'(x) + h²f"(x)/2+ o(h²)    
 
 
 
 
 
 

• Est-ce que le première formule est moins précise que la seconde ??

   Si oui, comment on peut les distinguer ? Et d'après ce que j'ai écrit on peut mettre = entre les deux, c'est faux ?
 

• Dans quel cas peut-on faire disparaître le petit o(h) ? Est-ce qu'il faut mettre le signe environ ~ quand on l'enlève ??

 
 
 
Merci à vous

up

ben oui, la première formule est moins précise que la seconde dans le cas général, çàd si les termes d'ordre supérieur à 1 sont non tous nuls. Un développement de taylor sert à approximer une fonction dans un voisinage d'un point par un polynome (qui est facile à manipuler). Selon les besoins, on développe à l'ordre 1, 2 , 3 ...

Déja,  
f(x+h)=f(x) + h*f'(x) + h*e(h)  peut s'écrire avec f dérivable en x seulement, alors que :
f(x+h)=f(x) + h*f'(x) + h²f"(x)/2+ o(h²) impose f 2 fois sdérivable en x.
La première formule approxime f(x+h), pour h petit de façon affine, alors que la 2ème le fait par un polynome du second degré. DOnc la 2ème est plus précise.
Quant au signe ~, il signifie équivalent. Et un équivalent ne doit contenir qu'un terme : le terme prépondérant.
Car on peut écrire (1+h)² est équivalent en 0 à 1. Comme on pourrait écrire que (1+h)² est équivalent en 0 à 1+2h ou encore à 1+2006h :-)
EN revanche, il est beaucoup plus intéressant d'écrire : (1+h)²-1 equivalent à 2h (et pas à 2006h cette fois-ci).
Ainsi :
f(x+h) est équivalent à f(x) si f(x) est non nul. Mais n'écris pas f(x+h)~f(x)+f'(x)*h. ecris plutot :
f(x+h)-f(x)~f'(x)*h (si f'(x) est non nul)
 
 
 

Merci j'avais oublier cette règle à la con "un équivalent ne doit contenir qu'un terme : le terme prépondérant".
 
Les souvenirs de Sup s'évaporent....
 
 
Merci encore à vous