Bonsoir à tous, j'ai une colle de Maths demain et j'ai deux démonstrations à apprendre mais le problème c'est que je les ai pas dans mon cours! Est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de me les faire?
 
*  x->sin(1/x) n'admet pas de limite en 0.
*  Si f est continue de [0,1] dans [0,1], elle admet un point fixe.
 
Merci d'avance!

pour la 1, trouve deux suites Un et Vn tendant vers +oo et telles que sin(Un) et sin(Vn) ont des limites, mais différentes.
pour la 2, raisonne par l'absurde.

Merci à vous!  
 
* Pour la 1, on considère la suite Un= 1/(nπ/2), lim (n,0) sin(Un)= (-1)^n si n est pair et lim (n,0) sin(Un)= 0 si n est impair. Ainsi les deux limites sont différentes et  
f(x): x--> sin(1/x) n'est pas continue en 0.
 
* Pour la 2, soit f continue de [0,1] dans [0,1]. On pose g(x)= f(x) - x.
g(0)= f(0) - 0 = f(0) Є [0,1]
g(1)= f(1) - 1.  g(1) Є [-1,0]
 
Or g(x) est continue sur [0,1] car f(x) et y=x sont continues sur cet intervalle.
 
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un x tel que: g(x) = 0 ↔ f(x) - x =0 ↔ f(x) = x ↔ f admet un point fixe.