Reprise du message précédent :
 
Je pourrais bien faire un topic sur l'esprit conservateur et sur l'esprit jeune Mais rassure-toi je ne me sens pas à l'aise quand les gens sont trop parfaits, donc  

J'ai remarqué que la tabouret avec quelque chose de l'inverse d'une pseudo-sphère, dans ce cas pourquoi pas? Je sais plus qui a posté cette idée, c'est sur la liste en premier post

"Quelque chose de l'inverse d'une pseudo-sphère" ?
 
Tu fumes quoi, cappa, à la fin ?

Si tu mets les extrêmes au mileux et le milieu aux extrêmes, donc l'inverse, tu obtiens le tabouret rouge

Evidemment je suppose que c'était l'idée de l'auteur mais je ne peux pas en dire beaucoup plus
Je fume pas, à cause du trou de la sécu  

 
Ben fume mon gars, c'est fait pour ça la sécu.

Ça y est, voilà une nouvelle interprétation de ta solution lorsque j'essaie de l'appliquer depuis le début. Tu me diras si c'est plus proche de tes idées. Mais il y a un problème à l'étape de la cerclification de la sphère. Question relative à ce que tu appelles les diamètres principaux. Enfin j'en parle à la fin    
 
Soit dit en passant, je trouve vraiment ta cerclification passionnante, en plus d'être non triviale.    
 
Résumé :

Etape 1 (initiale) : un point
Notes :
Le point peut exister sans dégraissage dans un espace de dimension 0

• une distance caractéristique : la longueur de la translation

Etape 2 : un segment
Le point subit une transformation et donne le segment de longueur D.
La transformation se décompose en une suite d'opération comme suit :

• choix d'une droite passant par le point initial

On fait varier L de 0 à D/2 :

• translation du point initial d'une longueur L dans un sens choisi comme positif sur la droite, on conserve le point obtenu
• translation du point initial d'une longueur L dans un sens choisi comme négatif sur la droite, on conserve le point obtenu

Notes :
Le segment peut exister sans dégraissage dans un espace de dimension 1

• la longueur D de la translation doit être donnée

Etape 3 : un cercle
Le segment subit une transformation et donne le cercle
La transformation se décompose comme suit :  

• choix d'un plan contenant le segment de l'étape 1
• translation de chaque point du segment dans la direction normale, d'une distance égale à 2*y

Calcul : y(x)=( ( D/2 )^2 - x^2 )^( 1/2 )
 

• translation des nouveaux segments obtenus suivant leur direction de construction (perpendiculairement au segment 1 donc) et d'une distance y(x) de sorte que le milieu de chaque segment soit ramené sur le segment 1  
• récupération des extrêmités de chaque nouveau segement : au total le cercle

Notes :
Le cercle peut exister sans dégraissage dans un espace de dimension 2

• le rayon du cercle est D/2
• direction préférée : celle du segment de l'étape 2

Etape 4 : une sphère
Le cercle subit une translation conjuguée à une contraction vers son centre. La translation de longueur maximale tmax a la longueur nécessaire pour que le cercle parvienne à être réduit à un point. De plus la contraction revient à la donnée d'un rayon r lié à la longueur t de la translation par la relation r(t)=( ( D/2 )^2 - t^2 )^( 1/2 ). Si t=D/2 alors r=0, donc tmax=D/2.

Calcul : r(t)=( ( D/2 )^2 - t^2 )^( 1/2 )
 
Partant du cercle donné, la transformation se décompose précisément en une suite réunissant tous les cercles obtenus lorsqu'on fait varier la longueur de chaque translation du cercle initial, en partant de 0 jusqu'à atteindre la longueur maximale, et simultannément en faisant varier le rayon du cercle initial de D/2 à 0 (contraction).  

• translations conjuguées à des contractions, menées dans le sens positif suivant la normale au plan du cercle initial (on conserve le cercle obtenu)
• translations conjuguées à des contraction, menées dans le sens négatif suivant la normale au plan du cercle initial (on conserve le cercle obtenu)

Notes :
Le cercle peut exister sans opérer un quelconque dégraissage dans l'espace de dimension 3

• rayon de la sphère : D/2
• direction préférée : la normale au plan du cercle de l'étape 3

Etape 5 : la sphère Art-Dupont (pomme)
C'est là que les ennuis commencent. Il s'agit de continuer à cerclifier.
D'abord, sur la base d'une alternance d'opérations translations/cerclification ça semble passer. Ce qui serait mieux serait de pouvoir tout justifier par une cerclification. Mais on aurait à montrer l'existence d'une cerclification du point en segment et la cerclification du cercle en sphère.  
Pour la cerclification du cercle, si on le déplie et qu'on fabrique dans le plan perpendicualaire au plan du cercle, le disque de diamètre 2*pi*D (D diamètre du cercle), on peut ensuite replier le disque en rebouclant le cercle. Ca donne une figure qu'on peut faire en papier. Il reste à replier cette figure pour en faire une sphère. Ca ne semble pas faire violence à la topologie mais je ne vois pas la relation mètrique qui envoie chaque point du disque sur la sphère. Si c'était une relation simple, ce serait bien.
 
Maintenant que j'ai bien compris la cerclification et l'obtention d'une pomme, voilà les pépins
 
Pépin n° 1 :
Pourquoi cerclifier par arcs ? N'est-il pas plus simple de cerclifier par cercles entiers, ce qui revient à déplier au moins les grands cercles de la sphère, à les cerclifier, puis à les replier en même temps qu'on replie les cercles. Le détail n'est pas important, si on note qu'on obtient au total une sphère plus grosse mais pleine, ou alors creuse au centre mais j'ai un sérieux doute là-dessus.
Donc une cerclification de tous les cercles de la sphère : une boule pleine je crois.
 
Pépin n° 2 :
Décidons de nous focaliser sur les plans ou axes privilégiés. On peut a priori cerclifier par arcs à cause des extrêmités situées sur un axe privilégié de la sphère lié à l'historique de sa construction. On prend les grands cercles qui tournent autour de l'axe principal de la sphère, on les divise en 2 à cette frontière et on cerclifie. D'où la pomme
Mais sur la base de la translation cercle-->sphère, des cercles parallèles sont apparus à l'étape précédente.  On pourrait décider de cerclifier de préférence sur ces cercles. Pour cerclifier par arc, il reste à justifier le choix d'un plan perpendiculaire à celui du cercle de base. Toujours est-il que la pomme n'est plus aussi symétrique. Ca donne une figure différente, essentiellement à base de tranches de pommes emfilées sur un axe et subissant une contractaction en allant vers ses extrêmités.


 
Je me rends compte que les arcs sont mal cerclifiés sur ces figures (manque les doubles arceaux internes), mais ça donne une idée de l'empilement.  
Pour finir, je note que les pommes réelles sont vraiment des pommes Art Dupont en général, et même avec les deux arceaux interieurs, et je me demande si quelqu'un connaît la raison à ce phénomène?
 
Le plus intrigant c'est de se dire qu'une pomme est obligée de passer par tous ces calculs pour exister    

J'ai mangé une sphère de la quatrième dimension ce matin.  

En fait il s'agit de 3D , c'est l'avantage de la cerclification.
On obtient ça avec Mapple. Je donnerai plus de détails à l'occasion. En arquant le segment on tord simultanément le cercle. Ca rappelle un peu la cardioïde, mais j'avoue que je ne sais pas si les équations sont les mêmes.

Ça peut se tenir si tu pensais à une bulle de savon , non?
En tous cas ça forme autant un chemin logique que la cerclification donc peut concourir    
 
 
J'en profite pour mettre une cerclification complète, du segment au cercle entier. Fait avec Mapple.
Le procédé mérite vraiment qu'on s'y attarde