Bonsoir,
 
De tête je cherchais à résoudre l'équation suivante...
 
x+y = x*y ou x et y sont des entiers naturels qui intuitivement donne comme solution (x,y) = {2,2} ou {0,0}.  
Cependant je ne vois pas la justification ... (j'ai honte...).
 
Des suggestions ?

oui x = y / (y-1)

et y != 1 (sinon tu casses tout)

Une fois exprimé sous la forme donnée par Roger21, ça signifie que si tu veux x & y entiers tous les 2 :
pour que x soit entier non nul il faut que y soit un multiple de son prédécesseur dans |N . Le seul nombre qui soit un multiple de son prédécesseur c'est 2, multiple de 1.
Et si x est nul, ben y est nul et ça te fait ta 2ème solution.

oh comme c'est beau ce que tu dis

De façon symétrique, on peut aussi procéder avec y = x/(x - 1) pour x diff de 1.
 
On prouve facilement que x = 1 n'est pas possible.
 
Comme tu veux des solutions entières, on remarque que :
y = x/(x - 1) = (x - 1 + 1)/(x - 1) = 1 + 1/(x - 1).
 
y est un entier si 1/(x-1) est un entier (ici, je ne fais pas la diff entre naturel et relatif).
 
 * x = 0 donne y = 0.
 
 * x = 2 donne y = 2.

   
où est le scandale ? es tu sûr de ce que tu as lu ?

ah oui, j'ai rajouté des parenthèses là où il n'y en avait pas

Une démonstration plus géométrique où l'on ne s'embête pas avec des divisions:  
on a xy=(x^2+y^2)/2 d'où x^2-2*x+y^2-2*y=0, ce qui donne (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2.
C'est donc le cercle de centre (1,1) et de rayon sqrt(2).
Au choix: on fait un dessin et c'est terminé ... ou sinon, on remarque que pour x(ou y)>3 il ne peut y avoir de solution, et on se ramène à x et y appartiennent à {0,1,2}. Si x(ou y)=1, il n'y a pas de solution et on se ramène à x et y appartiennent à {0,2} d'où il est clair que les solutions sont {0,0} et {2,2}.