1 x 8 + 1 = 9  
12 x 8 + 2 = 98  
123 x 8 + 3 = 987  
1234 x 8 + 4 = 9876  
12345 x 8 + 5 = 98765  
123456 x 8 + 6 = 987654  
1234567 x 8 + 7 = 9876543  
12345678 x 8 + 8 = 98765432  
123456789 x 8 + 9 = 987654321  
 
 
 
Pourquoi ?

ça alors

 
Spaunénigme, c'est juste de l'arithmétique...

Oui... mais c'est étonnant quand même

C'est joli
 
Ce n'est pas une coïncidence, non ? (Si oui, c'est très fort !)

 
Oui bon, je sais, c'est juste pour attirer le chaland.  

C'est clair que c'est de l'arithmétique.
 
Mais ça n'empêche que doit y avoir un pourquoi du comment qui doit être intéressant.

 
C'est réussi je pense

Tiens et 1234567890 x 8 + 0 = 9876543210

J'ai trouvé quelques pistes :  
 

 
C'est surement une piste

 
Y a aussi le fait que :

 
Mais c'est toujours interessant de se triturer sur ce genre d'exercices je trouve

1*8 + 1 = 9
2*8 + 2 = 18
3*8 + 3 = 27
...
9*8 + 9 = 81
 
on voit que le chiffre de l'unité decroit (9 à 1) tandis que le chiffre des dizaines croit (0 à 8), donc si je fais :
 
12*8 + 2 = (10*8) + (2*8 + 2) = 10*8 + 10 + 8 = 10*(1*8 + 1) + 8...etc.
 
123*8 + 3 = (100*8) + (20*8) + (3*8 + 3)
          = (100*8) + (20*8) + 20 + 7
          = (100*8) + 10*(2*8 + 2) + 7
          = (100*8) + 100 + 80 + 7
          = 100*(1*8 + 1) + 80 + 7
          = 900 + 80 + 7
          = 987
 
Apres c'est toujours pareil.

Ben puisque tu ne veux pas la mettre dans mon topic enigme, je la boude, na
 
(je rigole... )
(et en plus je te comprend vu comme l'audience est limitee)
 
Par ailleurs, c'est le genre d'exo de maths sup qui se montre tres bien avec un peu d'arithmetique des anneaux Z/nZ. Je ne saisplus faire depuis le temps, mais je pense qu'un math sup de bon niveau peut nous prouver la relation et ses extensions de maniere simple avec ca. ElBoucher, T la (a fortiori puisqu'il est en spe maintenant)? Un autre? Ou un forumeur reste matheux?

Alors, personne ?  

bah faudrait poser la question à un expert... ya plein de truc du genre...
 
Par exemple pourquoi x élevé au carré équivaut à la somme des x premiers nombres impairs?
 
x=1 donc 1²=1
x=2 donc 2²=1+3                      (les 2 premiers nombres impairs)
x=3 donc 3²=1+3+5                    (les 3 premiers nombres impairs)
x=4 donc 4²=1+3+5+7                  (les 4 premiers nombres impairs)
x=5 donc 5²=1+3+5+7+9                (les 5 premiers nombres impairs)
x=6 donc 6²=1+3+5+7+9+11             (les 6 premiers nombres impairs)
 
et ainsi de suite

joli  

Ce topic va virer à la numérologie

 
ch'est pas si c'est rigoureux...
 
on se sert de la piste :
j'écris [123...n] le nombre en chiffre en base 10, ce qui veut dire :
1*10^(n-1)+2*10^(n-2)+...+n*10^0
 
[123...n]*8+n + [123...n] = [123...n]*9+n = [123...n]*10 - [123...n] + n
 
soit :
  [123...n0]
-  [123...n]
-----------
  [1111..10] - n
 
on obtient ce que tu as mis en spoiler

 
ça c'est évident, ça se fait en 1ère par récurrence. Sinon tu peux remarquer que :
 
4²=(3+1)²=3²+2*3+1=3²+7=(2+1)²+7=2²+5+7=1²+3+5+7

 
Ah oket ! On les multiplie par deux mais rajoutant 1 ça fait tjs un nombre impair

 
euh... mouais c'est le développement du binôme :
(a+b)²=a²+2ab+b²
on prend a=n b=1 :
(n+1)²=n²+2n+1
 
bon aller zou je balance le truc :
 
n²=sigma des n premiers impairs
 
1²=1 ok
hyp : n²=somme des n premiers impairs
 
(n+1)²=n²+(2n+1)
 
2n+1 est bien le n+1ème impair (on commence le décompte pour n=0 donc n+1 en tout).

Sigma somme ?

 
ouaip
(quand j'ai dit niveau première, j'exagère un peu, même si on l'a vu en classe en 1ère, c'est plutôt le bagage classique d'un sup).

C'est pas comme s'il y avait un topic maths.