bonjour,
j'ai un devoir a rendre mais j'ai difficultés a le faire.
j’espère que vous pourrez m'aider.
merci d'avance.
voici l’annoncé:
 
 
Projet : Marche al´eatoire sur un graphe. On consid`ere une marche al´eatoire simple X sur le
graphe sym´etrique G dans la figure : si Xn = i, alors Xn+1 = j, o`u j est un des sommets connect´es
`a i, avec probabilit´e 1/|{j : j est connect´e `a i}|.
(1) Montrer que la probabilit´e invariante μ est unique. D´eterminer μ aussi pr´ecis´ement que possible.
(2) Calculer Ei Ti, ou Ti = inf{n > 0 : Xn = i}, pour tout i. Donner la distribution approch´ee
de Ti, quand X0 = i (pour deux valeurs de i) et discuter la pr´ecision de l’approximation.
(3) Pour tout i : est Ni := inf{n : maxj |Pi(Xn = j) − μ(j)| " .0001} < #? Estimer Ni (si
Ni < #).
(4) Etudier la distribution du premier instant T tel que {Xn}n=0,1,...,T a visit´e tous les sommets
de G, quand X0 est distribu´ee selon μ.
(5) Etudier P1(Xj $= 9 pour tout j " n) pour n grand.
(6) Peut on conjecturer, sur la base des observations num´eriques, un Th´eor`eme de la Limite
Centrale pour la suite {Xn}n ?