Reprise du message précédent :

bah la réponse a déjà été donnée je reformule si tu veux :
 
En l'état actuel de tes connaissances, pour montrer que c'est dérivable en 0, le plus "simple" et surtout le plus rigoureux, c'est d'utiliser la définition de la dérivée : une fonction est dérivable en 0 si et seulement si lim(x->0) [f(x) - f(0)]/x existe et est finie. Si c'est le cas, cette limite c'est f'(0).  
 
Donc, pour déterminer si ta fonction est dérivable en 0, il faut regarder lim(x->0) [f(x) - f(0)]/x, et voir ce que ça fait. Or, dans ton cas précis, [f(x) - f(0)]/x = [(ln(1+x)/x) - 1]/x = [ln(1+x) - x]/x², ce que tu as encadré juste avant ! Il te suffit donc de faire tendre x vers 0 dans ton encadrement, et ça te donne la limite que tu voulais, avec le théorème des gendarmes.
 
Ca va mieux comme ça ?

 
grilled

ouais mais moi c'est mieux expliqué

quand meme ca s'appelle pas aide aux devoirs ici. de toute facon je suis contre toute aide aux devoirs si la personne qui demande de l'aide n'a pas plancher sur l'exos au moins 2 jours, ca serait trop facile!

 
tu plaisante

qui te dit qu'elle n'y a pas passé 2 jours la personne en question ?

je plaisante, tu plaisantes

le pire je viens de l'apprendre aujourd'hui!  bref  un prof univeristaire qui a son fils en prépa a demander à son collègue prof de prépa de faire le devoir libre de son fils qui est en mpsi, celui ci a planché dessus un peu puis à court de temps a demandé à mon père de lui faire. en gentil monsieur mon père n'a pas pu refusé et il est entrain de plancher avec ma mère dessus. et pourtant ca lui fait chier de faire le boulot d'un autre, mais bon c'est un service qu'on lui a demandé et il peut pas le refuser à un collègue. tout ca pour dire que je suis sidérée par ce type de comportement. qui existe meme en prépa!

 pttre bien, mais bon.

 
plaisante, plaisantesss mais peutimporte

bah le jour où le fils comprendra qu'il est en prépa pour préparer des concours et pas pour avoir des bonnes notes, il se décidera peut être à les faire lui même ses devoirs en dehors de ça, tant pis pour lui, les plus cons s'éliminent eux mêmes des concours, ça s'appelle la sélection naturelle m'enfin on n'est pas là pour parler du bien fondé de la rubrique aide aux devoirs, donc on stoppe là le hs

ca marche. tu sais moi à 11h je commence à délirer..

si elle est définie elle est pas forcément derivable je crois donc l'argument de methodm me semble pas top !
deuxiemement on me demande dans une question apres d'étudier les variations de f donc inutile je pense de calculer la dérivée.
on ne peut pas non plus s'aidé de f'(o) puisqu'il faut le calculer apres.
moi je n'ai apres pourtant qu'un moyen de montrer qu'une fonction est dérivable:
dérivable si lim x-->a ( fx - fa)/ (x- a) = f'(a)
                lim x -->h ( fa+h- fa)/h = f'(a)
mais bon je vois pas comment s'en servir vu qu'on ne sait qu'apres que f'(0)= -0.5
quelqu'un à une idée ???

j'ai cherché pas mal de tps cette question et tout ceux de ma classe sèche. d'apres vos réponses, vous démontrez à la fois que f est dérivable en 0 et que f'(0)= - 0.5. j'avais pensé à ça aussi mais bon ça me parrait fouilli. en tout cas merci de vous investir comme ça !

une idée pour faire quoi ? j'ai du mal à cerner ce que tu veux là si c'est pour montrer qu'elle est dérivable ailleurs qu'en 0, c'est immédiat par composée et quotient de fonctions dérivables

ben oui, puisqu'on montre à la fois que la limite existe et qu'on donne sa valeur avec l'encadrement, je vois pas le problème c'est quoi qui te paraît pas clair dans ce qu'on a posté ?

c'est tres clair je pense que je vais suivre vos démarches.
merci bcp et bonne nuit !

j'ai encore un problème.
je calcul et trouve que f'(x)= (x/(x-1)-ln(1+x))/x^2 et en utilisant cette formule, f'(0)=0 !! on devrait avoir f'0= -0.5....
je comprend pas là....

 
non, on trouve que ça tend vers -0.5 et meme dans ce cas ça m'etonne qu'en terminale on te donne le theoreme qui dit que si ta fonction est continue sur [0, +infini[,derivable sur ]0, +infini[ et que f' tend vers une limite fini "l"lorsque x tend vers 0 alors f est derivable en 0 et f'(0)=l ...

ton f' calculé comme cela n'est pas défini en 0, tu ne peux donc pas évaluer directement en 0

 
exact a par avec le theoreme qui je pense est hors programe en terminale. dans tous les cas :
*la limite vaut bien -0.5
*meme si ce n'etait pas le cas ça voudrait juste dire que f' n'est pas continue et a priori toutes les fonctions n'ont pas l'obligation d'etre continues...ça arrive donc

n'empche que ça me parait bizarre
d'apres vos réponses, à la question "en deduire que f est derivable en 0 et que f'o=-0.5" je dois répondre comme ceci:
f est derivable en 0 ssi lim qd x->0  (fx-f0)/(x-0)= f'(0)
ensuite grace à l'encadrement je calcul lim qd x->0 (fx-f0)/(x-0) et je trouve -0.5.  
Mais le probleme c'est que je peux pas conclure vu que l'on ne connait pas la valeur de f'0 (il faut justement la trouver).
donc en fait j'ai trouvé la limite du taux d'accroissement mais j'ai toujours pas montré que f est dérivable en 0 vu que l'on est pas censé connaitre f'0.
bon voila j'espère que je suis claire, j'attend vos réponses, merci.

mais c'est la définition de f'.
 
f'(x) est égal à la limite du taux d'accroissement en x, si elle existe...

la definition de f derivable en 0 est et c'est là que tu semble avoir un problème :
 
f est derivable en 0 si et seulement si (fx-f0)/(x-0) possède une limite fini " l" quand x tend vers 0
 
on appel alors "l" le nombre derivé de f en 0 et on le note f'(0)
 
en clair si tu trouve que (fx-f0)/(x-0)  tend vers 0.5 ça montre a la fois que f est derivable en 0 (car la limite existe) et que f'(0) = 0.5 (c'est la valeur de la limite)

 
NON. Personne n'a jamais dis ca.
 
f est dérivable en 0 si et seulement si lim qd x->0  (fx-f0)/(x-0) existe.
C'est tout. Existe ca signifie que ca n'est pas l'infini.
 
Apres, une fois que tu as montré que c'était dérivable, tu peux dire aussi que cette limite finie c'est la valeur de f' en 0.

donc en fait, à partir du moment ou on trouve que la limite du taux d'accroissement est finie quand x tend vers 0, alors on peut dire que f est dérivable en 0. ensuite on voit que la limite l= -0.5 donc comme l=f'0 alors f'0=-0.5. c'est bon ?
ça y est je crois que j'ai compris !

en fait, j'avais mal appris la définition de la dérivabilité je crois, j'avais sauté un étape...

voila.

ok ben merci à tous, si ça se trouve je vais maintenant éviter des erreurs que j'aurais pu faire au bac en mal-interprétant la définition !
bonne journée !