soit f définie sur (0;+l'infini) par:
f(0)=1 et f(x)=ln(1+x)/x pour x strictement supérieur à 0
 
IL faut montrer que f est dérivable en 0....
petite question bète mais je coince depuis tt à l'heure vu que normalement elle est pas dérivable en 0 cette fonction !!  
 
Quelqu'un peut-il m'aider ??

oups peut etre un peu hors sujet ce message ?!!
je l'ai reposté dans la cathégorie "aide aux devoirs" pour ceux qui veulent y répondre.

Quel niveau?

elle est definie en 0 puisqu'on a posé f(0) = 1 !
 
De plus, ln(1+x) equivalent a x au voisinage de 0, donc f(x) tend vers 1 en zero et f biensur continue en 0.
 
Pour la derivabilité je pense que c'est clair...

Pourquoi ln(1+x) équivalent à x au voisinage de 0 ???
 
Je dirais plutôt quand x->0 lim f(x)= dérivée de ln(x+1) en 0 d'après la formule donc 1.
En effet avec f(0)=1 c'est continu et après tu calcules et tu trouves que la dérivée est -1/2
 
(si tu veux juste montrer que c'est dérivable c'est une composée de fonctions dérivables donc dérivable sur son ensemble de définition, donc en 0)

 
1/x défini en 0 ?

 
   le theorème est juste mais j'aimerais savoir ce que tu prendrais comme fonctions derivables sur [ 0,+infini[ ?

Oui j'ai dit ça à la va vite tu propose quoi comme réponse ?
(à part le calcul)

bah va voir dans le nouveau sujet créé dans la catégorie aide aux devoirs... ici

sylvainmn, c'est un tissu d'anneries ce que tu raconte... c'est étrange qu'on t'ai donné un bac S
edit: tient ta effacé ton message d'avant ou tu prétendais que f n'était pas continue en zero...  

j'avais pas vu f(0)=1 je suis désordonné mais j'aime réfléchir, et j'ai pas mon bac

   
tu portes bien ton nom toi  

 
Non pas tout, par exemple tu dis que la limite de f est 1 car ln(1+x) équivaut à x au voisinage de zéro ce que je ne comprends pas (savais pas ? ), et moi par contre j'ai utilisé la définition du nombre dérivé qui donne imédiatement lim f(x) = 1 en 0.
 
si tu peux m'expliquer ce que veut dire "ln(1+x) équivaut à x en 0 " je suis preneur pour partir moins con dans cette merveilleuse station de ski qu'est flaine/grandmassif
 

Si tu es au lycée, beh tu te contente de ton formulaire   (où à défaut ce qu'a dit Cantor et c'est tout  )
Si tu es dans le supérieur   t'as pas encore fait les dvel limités  
c'est pas très compliqué, mais il y a deux types de lycéens ceux dont les papas sont mathématiciens qui connaissent toussa    et les autres qui doivent apprendre les formulaires par coeur    

aie aie aie !!!  t'es en quel classe nnette13140?
 
DL de ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 +......., t'as besoin que de ton 1er terme, cad "x"
 
ciaooooooo

et si tu veux une demo avec les formules de Taylor  ....je suis la, c'est pas compliqué!!  

du calme c'est pour un terminale la!  
Pour sylvain "f equivalente à g au voisinage de x0" signifie qu'il hexiste h telle que f=g*h et h tend vers 1 quand x tend vers x0. c'est pas la def de base mais c'est a mon avis le plus visuel dans ton cas

Ca veut dire que racine xième de 1+x tend vers e en 0 ??

(1+x)^(1/x)= exp(ln(1+x)/x) quand cela à un sens donc oui ça tend vers "e" par une simple composition des limites  

C'est vachement intéressant

soit f définie sur (0;+l'infini) par:  
f(0)=1 et f(x)=ln(1+x)/x pour x strictement supérieur à 0  
 
IL faut montrer que f est dérivable en 0....  
petite question bète mais je coince depuis tt à l'heure vu que normalement elle est pas dérivable en 0 cette fonction !!      
 
Quelqu'un peut-il m'aider ??

t'es en quel classe? c'est juste pour savoir comment te repondre

A mon avis elle est en TS...
Est-ce que la fonction est définie en 2 parties ? Parce que présentée comme ceci, t'as fonction n'est pas dérivable en 0... donc prouver qu'elle est dérivable en 0 me parait difficile !

oui je suis en TS.
juste avant cette question, j'ai démontré que:
-0.5< ( ln(1+x)-x)/x^2 < -0.5 + x/3
car on savait que ln(1+x) < x-(x^2)/2+(x^3)/3
ainsi que ln(1+x) > x-(x^2)/2
NB: pour les signes des inégalités, il s'agit d'inférieur/supérieu ou égal.
 
à mon avis on se sert de la gde inégalité vu qu'il est écrit "en déduire que f est dérivable en 0 et que f'(0)=-0.5" (pour le calcul de f'(0) j'ai réussi)
voila c'est tout pour les données, bonne chance (moi je sèche toujours....)

Oui je pense que tu peux te servir de la grande généralité

 
f est dérivable (ou plus généralement différentiable) en X0 si et seulement si  
lim (X->X0)  f(X)-f(X0)/(X-X0)    existe et est finie

 
bon ben donc c'est facile, tu etudis la limite de (f(x)-f(0))/(x-0) que tu as directement avec ta premiere inegalité.tu vois?

 
Quel calcul ? Si tu as à l'avance l'encadrement tu appliques le théorème d'encadrement et ca tombe tout de suite
 
(pour calculer la dérivée directement c'est assez chaud )

je pense que en passant par une équivalence de la fonction pour x tendant vers 0 , si tu montre que la limite est finie tu pourras donc dire que f est prolongeable par continuité   en 0 . donc définie sur [0;+infini[ et par conséquent dérivable en 0 . je ne suis pas sur de moi mais bon j'espere que ca pourra t'aider

définie => dérivable ?

|x|

decidement je vois pas le pb... il a :-0.5<= ( ln(1+x)-x)/x^2 <= -0.5 + x/3  en faisant tendre x vers 0 on a f derivable en 0 de f'(0)=-0.5

Joli bug, le topic s'est dédoublé , à moins qu'un modo n'ait déplacé l'autre ici

suffit de lire le premier post de l'autre topic, il/elle s'était plantée de cat et il/elle a reposté

Tu as mal compris , regarde mon post ou je dis que c'est intéressant qui est posté à 22h39, le suivant est posté à 16 h ... y'a des messages qui se sont rajoutés instantanément .

bizarre ce truc

ouah j'avais pas vu que j'avais eu autant de réponse !
c'est fou ce que les maths sucite comme débat !
alors personne n'a une piste serieuse à me proposer ?

en effet => mp à joce

 
 
mes messages doivent etre invisibles
 
bon, f est definie par f(x)=ln(1+x)/x pour x>0 et f(0) = 0. On peut verifier que f est bien continue en 0 mais on s'en fou, montrons qu'elle est derivable en 0 et que sa derivée vaut -0.5 en ce point.
 
f derivable en 0 si et seulement si [f(x)-f(0)]/[x-0] possède une mimite finie quand x tend vers 0. Si c'est le cas ce nombre est le nombre dérivé de f en 0.
 Or [f(x)-f(0)]/[x-0] = [ln(1+x)-x]/x^2 et on à -0.5<= ( ln(1+x)-x)/x^2 <= -0.5 + x/3  
Donc d'apres le th des gendarmes ( ln(1+x)-x)/x^2 tend vers -0.5 quand x tend vers 0.
cqfd.

bah la réponse a déjà été donnée je reformule si tu veux :
 
En l'état actuel de tes connaissances, pour montrer que c'est dérivable en 0, le plus "simple" et surtout le plus rigoureux, c'est d'utiliser la définition de la dérivée : une fonction est dérivable en 0 si et seulement si lim(x->0) [f(x) - f(0)]/x existe et est finie. Si c'est le cas, cette limite c'est f'(0).  
 
Donc, pour déterminer si ta fonction est dérivable en 0, il faut regarder lim(x->0) [f(x) - f(0)]/x, et voir ce que ça fait. Or, dans ton cas précis, [f(x) - f(0)]/x = [(ln(1+x)/x) - 1]/x = [ln(1+x) - x]/x², ce que tu as encadré juste avant ! Il te suffit donc de faire tendre x vers 0 dans ton encadrement, et ça te donne la limite que tu voulais, avec le théorème des gendarmes.
 
Ca va mieux comme ça ?