Bonjour à tous, j'ai un devoir maison de maths à faire et je sèche un peu sur une question...  
 
Dans la question précédente j'ai du étudier le sens de variation de la fonction u= F(u)-(u²/2)   sur [O;+infini[
 
j'ai trouvé qu'elle était décroissante. Cependant la question suivante me pose problème:  
                                        En déduire que pour tout u>0 , 0< F(u)<(u²/2)
 
J'espère que vous pourrez m'aider.
merci d'avance

demande toi quelle est la valeur de F(u) - (u²/2) en 0

je t'aide: t'as trouvé qu'elle était positive ou négative?

il a étudié les variations, pas le signe.

bah oui, mais bon...l'un va souvent avec l'autre...et puis le résultat est le meme.

d'où ma suggestion

j'ai trouvé que la fonction u est décroissante sur [O;+infini[  et que u(o)=0 donc je pense que la fonction est négative...
 
et puis pour la valeur de F(u) - (u²/2) en 0 , je trouve 0

et t'as bien raison de le penser, parce que c'est vrai. maintenant faut le montrer, ça prendra pas plus d'une ligne si tu t'y prends comme il faut.

 
oui, mais toi tu lui maches le travail

j'y étais d'abord, alors il est à moi

ok je sors

Donc si on dit que F(u)-(u²/2) est décroissant ça suffit à montrer que F(u)<(u²/2) ?

non, ce n'est pas suffisant. une fonction décroissante n'est pas forcément négative, regarde 1/x sur ]0;+oo[ par exemple...

au risque de paraître bête, je ne vois pas pourquoi on a besoin de prouver qu'elle est négative...

ben parce que F(u) < (u²/2) <=> F(u) - (u²/2) < 0, ce qui veut bien dire que la fonction est négative

oups oui c'est vrai...
 
donc si l'on prend la dérivée de F(u)-(u²/2), on obtient F'(u)-u et d'après une question précédente on a prouvé que 0< F'(u) < u  
 
donc F'(u)-u<0   donc la dérivée est négative donc la fonction est décroissante
 
après si l'on dit que u(o)= O
 
donc u est négative donc F(u) - (u²/2) < 0
 
 
ça irai ça?

ça dépend du niveau d'exigence du prof. y en a certains qui considéreront que c'est évident que si une fonction vaut 0 puis est décroissante, alors elle est négative, d'autres voudront une preuve. dans le doute, on va le prouver. et d'ailleurs, si tu veux F(u) - (u²/2) < 0, il faut qu'elle soit strictement décroissante.

d'accord, mais on va prouver ça comment? ...

c'est quoi la définition d'une fonction décroissante ?

que lorsque a<b
f(a)>f(b)

et donc, si tu appliques ça en partant de x > 0 ça fait ?

pour x=1 : F(u) - (u²/2)= -0,24
pour x=2 : F(u) - (u²/2)= -1,41
 
donc f(1)>f(2)

euh, et ça t'avance à quoi ?

heu, oui c'est vrai... à rien ...

et si tu faisais ce que je propose ?

en partant de x > 0
f(x)<f(0)

et donc ?

donc comme f(0)=0
F(x)<0
 
donc la fonction est négative

Donc la solution à cette question serait:
 
Si l'on prend la dérivée de F(u)-(u²/2), on obtient F'(u)-u et d'après une question précédente on a prouvé que 0< F'(u) < u  
Donc F'(u)-u<0   donc la dérivée est négative donc la fonction est décroissante.
 
Or d'après la définition d'une fonction décroissante
lorsque a<b    f(a)>f(b)
 
donc en partant de u> 0
on peut dire que f(u)<f(0)
 
Donc la fonction F(u) est négative
 
donc F(u) - (u²/2) < 0
donc F(u)< (u²/2)
 
 
c'est ça?

y a encore des détails qui vont pas.  
 
la dérivée est strictement négative donc la fonction est strictement décroissante, et la définition dont on a besoin (et que tu donnes) c'est celle d'une fonction strictement décroissante (une fonction croissante c'est "si a < b alors f(a) >= f(b)" ).
 
et il faut aussi remplacer "la fonction F(u) est négative" par "la fonction f est négative sur ]0;+oo[" (en supposant que f(u) = F(u) - (u²/2)).
 
sinon c'est bien.

d'accord, merci beaucoup!
Ton aide m'a vraiment été profitable, sans je ne sais pas ce que j'aurais fait!
Encore merci!!!