albur a écrit :
En fait, c’est un type de problème dont la résolution est très générale (et systématisable) : il s’agit d’un système d’équations linéaires (on dit aussi « système linéaire »).
La méthode générale :
1) Traduire le problème
Tu associes une inconnue à chaque quantité cherchée, et tu écris les équations décrites par l’énoncé (ces équations sont dites linéaires quand elles sont de la forme « somme_d’inconnues_chacune_multipliée_par_une_constante = constante »).
Ici, pour reprendre les notations de lasnoufle, on a trois inconnues que l’on peut appeler x, y et z (désignant respectivement le nombre de bonbons à 5 centimes, le nombre de bonbons à 1 centime et le nombre de lots de 20 sous), et qui vérifient les deux équations (linéaires) suivantes :
(1) 5x + y + z = 100
(2) x + y + 20z = 100
2) Résoudre le système (linéaire)
(Pour commencer par une remarque générale, quand on a un système à 2 équations et 3 inconnues, si les 2 membres de gauche respectifs des équations (ici, 5x + y + z et x + y + 20z) ne sont pas « proportionnels », alors il y a une infinité de solutions au système qui vont chacune être déterminée en fixant la valeur de l’une des trois inconnues (sinon, il y peut y en avoir soit aucune, soit une infinité) ; c’est le cas ici.)
Il y a plusieurs méthodes systématiques pour résoudre un tel système (et il est préférable, en général, de les utiliser, plutôt que de « bricoler »  comme lasnoufle, même si ce n’est pas faux) ; en voici deux très classiques et assez simples :
a) Résolution par substitution
Le principe de cette méthode est de partir d’une équation et de « remonter » ensuite dans les autres (par exemple, de la dernière à la première) pour exprimer d’abord une inconnue en fonction des autres, et ensuite remplacer cette inconnue par l’expression trouvée, pour alors trouver une expression pour une autre inconnue, et ainsi de suite.
Exemple : ici, l’équation (1) peut se réécrire z = 100 - 5x - y (on a exprimé z en fonction de x et y) ; on peut alors « injecter » cette égalité dans (2), c’est-à-dire y substituer 100 - 5x -y à z :
x + y + 20(100 - 5x - y) = 100
On réécrit pour arriver à une forme plus simple :
x + y + 2000 - 100x - 20y = 100
-99x - 19y=-1900
99x + 19y = 1900
On peut alors exprimer y à son tour en fonction de x :
19y = 1900 - 99x
y = 100 - (99/19)x
En réinjectant cette expression de y dans celle de z, on obtient une expression de z en fonction de x seulement :
z = 100 - 5x - [100 - (99/19)x] = 100 - 5x - 100 + (99/19)x = -(95/19)x + (99/19)x
z = (4/19)x
On se retrouve donc avec :
(1') z = (4/19)x
(2') y = 100 - (99/19)x
Il suffit de fixer une valeur arbitraire à x pour obtenir une solution (x,y,z) (on dit que le système a 1 degré de liberté) ; les contraintes spécifiques de ton problème te permettent de trouver quelle solution est attendue.
Ici : x, y et z doivent être entiers et positifs, donc en particulier x doit être un multiple de 19 pour que y et z soient des entiers, et x ne peut être supérieur ou égal à 38 car alors y serait strictement négatif, donc x vaut soit 0, soit 19, et tu peux calculer y et z dans chacun de ces deux cas.
b) Résolution par combinaisons linéaires
Principe : essayer de faire « disparaître » une inconnue de l’une des équations en ajoutant à cette équation un certain nombre de fois l’autre équation.
Exemple : ici, on va faire disparaître z de (2) en ajoutant -20 fois (1) à (2) :
(2)-20*(1) : (x + y + 20z) - 20*(5x + y + z) = 100 - 20*100
x + y + 20z - 100x - 20y - 20z = 100 - 2000
-99x - 19y = -1900
On se retrouve avec :
(1) 5x + y + z = 100
(2') -99x - 19y = -1900
Il suffit alors d’utiliser (2') pour exprimer y en fonction de x, et « remonter » dans (1) comme dans la méthode précédente (pour exprimer z en fonction de x).
(Remarque : l’idée de cette méthode est de rendre le système « triangulaire » : plus tu descends dans les lignes d’équations, moins il y a d’inconnues, et cela permet d’utiliser la dernière ligne pour exprimer les inconnues en fonction des dernières.
Exemple :
x + y + z = 5 (L1)
y + z = 8 (L2)
z = 3 (L3)
(L3) permet d’avoir la valeur de y via (L2) (y = 8 - z = 8 - 3 = 5), puis on remonte encore un coup et on a celle de x grâce à (L1) (x = 5 - y - z = 5 - 5 - 3 = -3).)
Voilà, mon message est peut-être un peu long, mais il décrit vraiment comment faire de manière réutilisable, alors cela doit valoir le coup. 
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