Un petit up, tout ce que j'avais fait était juste excepté la dernière question où, Pour que l'ellipse ait S pour périgée, il faut aussi vs'>Racine(Gm/rs), pour trouver ce résultat, il suffit d'utiliser les propriétés du périgée, rs= p/(1+e) etc.
Dans toute la suite de ce post, j'utiliserai uen écriture normale pour les questions de l'exercice et une écriture en italique pour ce que j'ai déjà trouvé.
Il s'agit d'étudier la déviation d'une météorite par une force centrale exercée par une planète fixe.
Une météorite A, supposée ponctuelle, de masse m, initialement très éloignée d'une planete O supposée sphérique de rayon R, et de masse M, se dirige vers cette planete avec la vitesse initiale Vo.
On se place dans le référentiel supposé galileen lié a la planete. Nous appelons b le parametre d'impact du systeme: distance de O a la direction de la vitesse initiale quand la météorite est à l'infini.
1) Déterminer l'énergie E de la météorite. En déduire la nature de sa trajectoire. Determiner la constante des aires de la météorite.
E= 1/2mvo² - k/ro or ro->infini donc E= 1/2mvo²
Ainsi, E>0 donc la trajectoire est hyperbolique.
On pose A le projeté orthogonal de Mo sur l'axe Ox. Ainsi (en vecteurs) OMo= OH + HMo.
On continue les calculs, avec C= ||(OH + HMo) vectoriel vo|| et on trouve C= bvo.
2) Soit rs la distance minimale d'approche de la planete par la météorite au point S. En utilisant la notion d'energie potentielle effective et les propriétés de rs, exprimer rs en fonction de M, G, b et Vo et exprimer la vitesse Vs en S en fonction de rs, b et Vo.
rs est donné par l'équation Epp(eff)(rs)= E, avec Ep(eff)(rs)= mC²/(2rs²)-k/rs et E=1/2mvo²=cte puisque la météorite n'est soumise qu'à la force centrale de la planète.
Ainsi, on obtient une équation du second degré qui n'est pas trop dure à résoudre.
On trouve rs= (-GM + racine(G²M²+b²vo^4))/vo²
vs= C/rs=bvo/rs.
3) Déterminer la valeur minimale bm que peut prendre le parametre d'impact b si l'on veut éviter la collision entre la météorite et la planete.
Il faut simplement rs>R donc bm est atteint pour rs=R. On reprend notre expression de la question précédente et on l'égale à R.
On en tire b.
On a alors bm=racine(R²+2RGM/vo²).
4) En utilisant les propriétés de rs, retrouver ici la relation entre l'énergie E d'un point soumis à une force centrale et l'excentricité e de la conique.
On sait que rs est un minimum et r= p/(1+ecos(théta)) avec p= C²/GM
donc rs=p/(1+e)
On remplace dans l'équation Ep(eff)(rs)=E <=> mC²/(2rs²)-k/rs= 1/2mvo²
<=> E= GM/(2C²)*(e²-1)
5) En déduire l’expression de l’excentricité e en fonction de M, G, b et vo.
On la déduit directement de la question précédente.
6) Sachant que les asymptotes font un angle alpha avec l’axe focal avec cos(alpha)=1/e , en déduire l’angle D de déviation de la météorite. Quelle est la vitesse de la météorite très loin de la planète ?
v(infini)=vo
7) Supposons maintenant que la météorite est en fait un engin spacial qui possède un moteur initialement éteint mais qui est brusquement allumé lorsqu’il passe par le point S de facon à faire varier instantanément le module de la vitesse de vs en v’s. Exprimer v’s en fonction de G, M et de rs de façon à ce que la trajectoire devienne circulaire de rayon rs.
Pour que la trajectoire soit un cercle, il faut que E=-GMm/2rs
Or E=1/2mvs'² - GMm/rs
On égale les deux relations et on en tire vs'= GM/rs.
8) De même exprimer v’s de façon à ce que la trajectoire devienne parabolique de sommet S.
Il faut E= 1/2mvs'²-GMm/rs =0
On en tire vs'=racine(2GM/rs).
9) Quelle condition doit vérifier v’s pour que la trajectoire soit une ellipse de périgée S?
Alors là je ne suis pas sûr du tout, si quelqu'un pouvait me confirmer.
Il faut E<0 quelque soit v.
En particulier pour vs', E=1/2mvs'²-GMm/rs<0
On trouve alors vs'<racine(2GM/rs)
Message édité par spyko2 le 10-03-2008 à 17:22:59
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