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  [Maths] Développements limités

 



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Auteur Sujet :

[Maths] Développements limités

n°832211
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:01:47  profilanswer
 

Bonjour,
 
J'ai un petit problème au niveau des développements limités. En effet, considérons la formule de Taylor-Young  qui permet de calculer le DL à l'ordre n au point a :
 
http://pix.nofrag.com/b3/65/08276bb6e8a0bcb2f168d243f9cc.jpeg
 
Si on applique cette formule pour calculer le développement limité à l'ordre 3 au point 0 de (1+x)^α:  
 
http://pix.nofrag.com/3c/00/3d1834e4a82c0d1fef4f33436b6b.jpeg
 
Par ailleurs, considérons u une fonction :  
 
http://pix.nofrag.com/ae/b2/58d215a63bde95ff2b5674d46c16.jpeg
 
Pouvons nous remplacer x par u dans le DL calculé précédemment ? Je m'interroge en effet sur cette possibilité, car si nous appliquons la formule de Taylor-Young pour calculer le DL³ en 0 de u, alors on obtient :
 
http://pix.nofrag.com/35/aa/861394fb9ba0637d7813f5b7b520.jpeg
 
En effet, j'ai remplacé u par sa valeur (0), mais si je remplace les dérivées successives de u par 0, alors j'obtiens un résultat toujours nul [:barthaliastoxik]
 
Merci d'avance :)


Message édité par _kal_ le 24-08-2006 à 12:30:39
mood
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Posté le 23-08-2006 à 19:01:47  profilanswer
 

n°832216
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:06:39  profilanswer
 

connais-tu ton cours sur les dl?Si oui,tu devrais pourvoir répondre....

n°832218
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:10:33  profilanswer
 

juliansolo a écrit :

connais-tu ton cours sur les dl?Si oui,tu devrais pourvoir répondre....


 
Si je poste, c'est que je ne peux pas répondre  :pfff:

n°832220
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:11:44  profilanswer
 

en fait, tu veux savoir pourquoi (1+u)puissancen différent de (1+x)puissancen c'est çà?

n°832228
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:14:21  profilanswer
 

Non, je veux savoir si je peux prendre le DL de (1 + x)^alpha et substituer x par u. A mon avis, je ne peux pas car si je calcul le DL de (1 + u)^alpha avec u étant une fonction, alors je me retrouve avec des dérivées de u. Des dérivées qui sont apparues aussi avec x lors du calcul mais simplifié par 1 car x est une simple variable.
 
Par conséquent, je fait quoi des dérivées de u dans mon résultat final ?

n°832235
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:16:45  profilanswer
 

Si f admet un développement limité à l'ordre n en x0, fini ou non, si le terme constant de f vaut a0 et
si g admet un développement limité à l'ordre n en a0, alors g o f admet un développement limité à
l'ordre n en x0, obtenu en développant la composée des développements limités de f et g.


Message édité par juliansolo le 23-08-2006 à 19:19:35
n°832242
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:19:16  profilanswer
 

non tu ne peux pas substituer x par u.....tu dois d'abord t'assurer que u tend bien vers 0 après tu peux substituer,mais u et x sont différents(u fonction,x variable) donc le résultat ne sera pas le même

n°832250
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:22:19  profilanswer
 

Bah u c'est ça :  
 
http://pix.nofrag.com/ae/b2/58d215a63bde95ff2b5674d46c16.jpeg
 
Mais bon, moi j'arrive pas à calculer les DL³ en 0 de (1 + u)-¹, à cause de ces foutues dérivées. Et lorsque je tente tout simplement de dériver u, le résultat final correspond pas au corrigé. Alors que si je pose u'=u''=u'''=1, la c'est bon :/

Message cité 2 fois
Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 19:22:34
n°832261
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:31:31  profilanswer
 

si u tend vers 0 alors tu peux calculer le dl d'ordre 3 de u en 0 à partir du dl d'ordre 3 de (1+x)puissance n

n°832262
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:32:17  profilanswer
 

donne moi l'énoncé de ton exo si tu veux je te le fais ce soir

mood
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Posté le 23-08-2006 à 19:32:17  profilanswer
 

n°832263
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:32:19  profilanswer
 

u doit tendre vers 0 lorsque x tend vers quoi ?
 
Si c'est lorsque x tend vers 0 : ok. Sinon, :/


Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 19:32:48
n°832264
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:32:44  profilanswer
 

vers n'importe quelle valeur
 
 

Message cité 1 fois
Message édité par juliansolo le 23-08-2006 à 19:34:12
n°832265
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:33:17  profilanswer
 

juliansolo a écrit :

ers n'importe quelle valeur


 
Bah si x tend vers l'infini, u tend vers l'infini, donc ça marche pas  :??:


Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 19:33:32
n°832267
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:34:31  profilanswer
 

c'est quoi ta fonction u?

n°832269
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:35:28  profilanswer
 

juliansolo a écrit :

donne moi l'énoncé de ton exo si tu veux je te le fais ce soir


 
C'est la premiere question de l'exercice 1 :  
http://kalhfr.free.fr/Divers/Jussi [...] orrige.pdf
 
 :hello:

n°832270
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 19:35:52  profilanswer
 
n°832295
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 19:59:59  profilanswer
 

si c'est le dl avec les fonctions exp,je ne vois absolument pas ou est la difficulté.....

n°832299
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 20:02:33  profilanswer
 

Oui bah fait le et tu verras... :o
 
D'autre part, pas besoin de s'orienter vers l'exo pour eviter de répondre à ma quesiton de départ. Y'a personne d'autre qui pourrait m'éclairer ? :/


Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 20:02:48
n°832311
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 20:14:29  profilanswer
 

Si tu veux utiliser le dl composé tu n'as pas besoin de la formule de taylor......Tu utilise le dl usuel en l'appliquant à u t puis c'est tout.

n°832329
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 20:23:46  profilanswer
 

juliansolo a écrit :

Si tu veux utiliser le dl composé tu n'as pas besoin de la formule de taylor......Tu utilise le dl usuel en l'appliquant à u t puis c'est tout.


 
Visiblement, tu n'as pas lu ce que j'ai écrit ou tu as du mal à comprendre.
 

_kal_ a écrit :


Mais bon, moi j'arrive pas à calculer les DL³ en 0 de (1 + u)-¹, à cause de ces foutues dérivées. Et lorsque je tente tout simplement de dériver u, le résultat final correspond pas au corrigé. Alors que si je pose u'=u''=u'''=1, la c'est bon :/


 
La ce que tu essaies de me dire, ce que je peux remplacer la variable t du dl (1 + t)^alpha par u et prendre le même résultat (c'est ce que j'en ai compris en vue du peu de précision que tu apportes). Or, fait le DL à partir d'une forume de Taylor, et tu te retrouves avec des dérivées dont je ne sais quoi faire.


Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 20:25:41
n°832333
juliansolo
Posté le 23-08-2006 à 20:28:27  profilanswer
 

je ne comprends pas mal tu n'as pas besoin de dériver.....Tu veux un dl de (1+u) puissance n c'est çà?

n°832335
oloward
Posté le 23-08-2006 à 20:31:00  profilanswer
 

juliansolo a raison:  
Tu peux remplacer la variable t du dl (1 + t)^alpha par u et prendre le même résultat. IL N Y A PAS DE DERIVEE a calculer ....
donc (1+u)^(-1) = 1-u+u^2-u^3
Reste à faire le DL3 de u^2 et u^3
T'obtient ainsi le résultat normalement

n°832338
_kal_
Posté le 23-08-2006 à 20:36:13  profilanswer
 

Bah je ne comprend pas ce retournement de situation, car tout a l'heure il disait tout autre chose :
 

juliansolo a écrit :

non tu ne peux pas substituer x par u.....tu dois d'abord t'assurer que u tend bien vers 0 après tu peux substituer,mais u et x sont différents(u fonction,x variable) donc le résultat ne sera pas le même


 
Et je suis tout a fait d'accord avec ceci  :D


Message édité par _kal_ le 23-08-2006 à 20:36:43
n°832349
oloward
Posté le 23-08-2006 à 20:43:40  profilanswer
 

Il faut vérifier que u tende vers 0 et après tu peux substituer.  
(Là je m'étais directement mis dans le cas particulier de 1/(1+u) avec le u que tu avais donné. )
La raison a déja été donné par juliansolo :
Si f admet un développement limité à l'ordre n en x0, fini ou non, si le terme constant de f vaut a0 et
si g admet un développement limité à l'ordre n en a0, alors g o f admet un développement limité à
l'ordre n en x0, obtenu en développant la composée des développements limités de f et g.
 
 
 
 

n°833018
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 12:22:51  profilanswer
 

Pour que u tende vers 0, il faut que x tende vers 0. Sinon ça ne marche pas. C'est bon ou pas ?
 
Rappel de u :
 
http://static.nofrag.com/ae/b2/58d215a63bde95ff2b5674d46c16.jpeg

n°833022
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 12:26:55  answer
 

je vois pas où est ton problème
surtout que tu raisonnes avec des upsilon...ce qui va t'éviter des erreurs lors de la composition  :jap:  

n°833028
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 12:29:55  profilanswer
 

Bah on me dit que pour pouvoir substituer une variable t par ma fonction u, il faut que u tende vers 0. D'accord, mais il faut que u tende vers 0 pour quel valeur de x?
Car si x != 0, alors u ne tend pas vers 0 et je ne peux pas substituer.


Message édité par _kal_ le 24-08-2006 à 12:30:18
n°833042
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 12:37:45  answer
 

non
tu peux tout faire  :lol:
 
en fait t'as fonction upsilon tend vers 0 quand x tend vers 0
donc oui si u ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0.....tu auras un truc qui sert à rien  :sol:  
 
mais ça reste valable...

n°833046
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 12:41:25  profilanswer
 


 
Wow, j'ai rien compris :lol:
 
Oui ma fonction upsilon tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Oui ma fonction u tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Par contre :
 
 
Qu'est ce qui ne sert à rien ?
 
 
Qu'est ce qu'il reste valable ?
 
En définitif, je n'ai toujours pas compris si u->0 pour x->0 uniquement satisfaisait la condition de u->0 pour substituer t par u  :D


Message édité par _kal_ le 24-08-2006 à 12:41:44
n°833055
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 12:56:17  answer
 

oui j'ai pas été clair
 
en gros ce que j'ai voulu dire, c'est que quoi qu'il arrive tu peux substituer (notes tes fonctions upsilon1 et upsilon2)
 
sauf que si ton u ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0, et bien tu obtiendras une relation sans intéret...
 
mais bon je pense que c'est plus simple de travailler avec des O(x^n), et de connaitre son cours sur la composition de DL  :jap:

n°833072
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 13:08:43  profilanswer
 


 
Ok, c'est ce que je voulais entendre :jap:
 
 
 
Je n'ai jamais travaillé avec des O(x^n), mais ta raison, j'vais essayé de revoir le cours parce que la ...  :heink:
 
M'enfin, dans un livre que j'ai acheté, ils expliquent avec les intégrales, chose qui n'est pas au programme de cette matiere, donc c'est un peu embetant :/

n°833083
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 13:20:38  answer
 

avec les intégrales ?
tu parles de la formule de Taylor avec reste intégrale ?
 
je pense qu'ils en parlent juste au début, après une fois que tu commences à vouloir faire des DL t'en as plus besoin

n°833085
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 13:22:19  profilanswer
 


 
Yep, après ca part dans les polynômes toussa toussa  :cry:

n°833087
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 13:24:36  answer
 

mais là t'as fait une sup ?
ou bien t'es un lycéen qui essaie de faire le programme de sup ?

n°833092
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 13:26:09  profilanswer
 


 
Ni l'un ni l'autre, je suis à la fac. C'est une matière de première année que je dois me tapper, étant en licence info.

n°833098
Profil sup​primé
Posté le 24-08-2006 à 13:30:51  answer
 

ok tout s'explique
car en prépa on voit se chapitre très proprement et les profs ne tolèrent pas une parfaite maitrise de ce chapitre  :o

n°833102
_kal_
Posté le 24-08-2006 à 13:32:57  profilanswer
 


 
:'(
 
Moi, je suis passé directe à l'application avant de comprendre la nature même du DL, avec les polynômes toussa

n°836244
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 26-08-2006 à 13:55:35  profilanswer
 


ben si u ne tend pas vers 0, ca marche pas du tout même... vu que ce sont des formules de DL en 0...

 


n°837676
Profil sup​primé
Posté le 27-08-2006 à 19:27:09  answer
 

ishamael666 a écrit :

ben si u ne tend pas vers 0, ca marche pas du tout même... vu que ce sont des formules de DL en 0...


 
bah si puisqu'il utilise des upsilons, et non pas des petits o  :o

n°837778
ishamael66​6
The Beast of the Westcoast
Posté le 27-08-2006 à 20:17:30  profilanswer
 

Ca change rien, même en utilisant les epsilons ( je n'utilise d'ailleurs que ca, j'aime pas la notation de landau etc.) , c'est le même problème...

mood
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