Voila Bonjour je suis en train de faire un exercice pour m'entrainer pour le bac a venir. C'est un exercice d'arithmétique :
1.a Montrer que si m est un nombre entier tel que: 0<m<7, alors 77-11m n'est pas divisible par 7. En déduire que 77 ne peut pas s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs
b.Soit x un entier ; montrer qu'il existe un entier m, vérifiant 0<m<(ou égale)7, tel que x-11m soit divisible par 7.
En déduire que, si x>77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs.
Voila j'ai réussi le a:
Par l'absurde: si 7/(77-11m)
alors 7/77 (ok) et
7/11m
or 0<m<7 avec m entier
7 étant premier, m<7 sera premier avec 7, puisque 7 a pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
Donc 7 et 11 étant premiers entre eux, si 7 divise 11m, alors 7 divise m => contradiction ^^
donc 7 ne divise pas 77-11m
pour la deuxieme partie de la question:
tu as 77-11m qui n'est pas multiple de 7
tjrs par l'absurde:
si 77=11m+7n tu as donc 77-11m=7n (n entier positif)
Or ca c'est dire que 77-11m est multiple de 7 !
Contradiction avec ce que je t'ai dit juste avant donc 77 ne peut pas s'ecrire comme ca.
Voila je seche pour la b. pouriez vous me donné une indication?
Merci
