Bonjour , je suis en prépa PSI, en révision pour les oraux, je fait un exercice (que l'on a déjà fait) et ... je bloque...
Par dépit j'ai voulu regarder ce que l'on avait fait et, en fait, mon prof non plus n'avait pas réussi.  
 
Voici l'exercice en question (exercice tombé à l'oral des mines l'an dernier) :  
 
Soit f: R-> C  une fonction continue 2Pi - périodique.  
On suppose que les coefficients de Fourier Cn(f) sont tous positifs ou nuls. Soit r dans ]0,1[.
 
a) Montrer que sum( Cn(f)*r^(|n|) , n = -infini .. + infini) = 1/(2Pi) * intégrale( [ (1-r²)f(t) ]/ (r² - 2rcos(t) +1) dt,t=0..2Pi)  
 
J'ai répondu à cette question, qui n'est que calculatoire, on utilise à un moment le théorème d'inversion des signes intégrales et sommes, rien de bien compliqué ...  
 
b) Montrer que la série sum( Cn(f), n=-infini..+infini) est convergente.
 
c) Montrer enfin que f est égale à la somme de sa série de Fourier.
 
 
donc la c) n'a rien de bien compliqué non plus, il suffit de montrer que si la série de la question b converge, alors il  y a convergence normale, on calcul les coefficients de Fourier de la série que l'on égalise à ceux de f et on conclu ...  
 
Mon problème se trouve à la question b)...
 L'idée serait de majorer les sommes partielles, certainement en utilisant l'intégrale de la question précédente , et ... C'est impossible ... Après vérification sur maple , l'intégrale converge quand r tend vers 1, mais impossible de le montrer... J'ai essayé beaucoup de choses, majoration indépendante de r, utilisation de théorème divers et variés,  ma dernière tentative a été de minorer le dénominateur, d'arranger le tout , je tombe sur un truc genre 2/(1-r) -1 (j'ai majoré par +infini, intéressant....) (ben oui , j'ai pensé au rasoir d'ockham, peut être que le truc le plus simple suffit... mais non... en plus j'avais déjà essayé mais sait on jamais...)  
Si l'un de vous avait ne serait-ce qu'une indication vers une piste que je n'aurais pas encore creusé, je lui serait plus que reconnaissant.