Tout est dans le titre .

L'exercice 1. et 2. contiennent 7 questions, EDIT 1 : j'ai fait les 5 premières de l'exo 1, si quelqu'un pouvait me donner une petite aide pour la fin .
EDIT 2 : Je viens d'ajouter un second exerice.
Soyez exigeant, ne laissez pas la moindre erreur, aussi petite soit-elle, passer

Voici le sujet d'examens que je refais pendant ces vacs, histoire de me remémorer tout ça. C'est pour l'exo non numérique.
Le second exo est l'exo non numérique qui a été donner au rattrapage de décembre (un exo tout neuf ).

Exercice 1.

Soit Mn(K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans le corps K. On considère l'application

(a représente A en indice)

La: Mn(K) -> Mn(K)
       M     -> AM

1) Montrer que La est un endomorphisme de Mn(K).
2) Soit M € Mn(K), et k € N. Déterminer (La^k)(M) [La puissance k (au sens de la composition) appliqué à M).
3) Soit Q un polynôme quelconque de K[X]. Montrer que l'on a Q(La)(M) = Q(A)M.
4) Déduisez de la question précédente que la matrice A et l'endomorphisme La ont le même polynôme minimal.
5) Montrer que La est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.

Dans le reste de l'exercice, nous supposerons que A est diagonalisable. Soit P une matrice inversible tel que (P^-1)AP soit diagonale.
On rappelle que pour 1 </= i,j </= n on désigne par Ei,j les matrices de la base canonique de Mn(K), c'est à dire les matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf celui à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne qui vaut 1.
On pose Ui,j = P(Ei,j)P^-1 pour tout 1 </= i,j </= n.

6) Montrer que les Ui,j forment une base de Mn(K).
7) Déterminer la matrice de La dans cette nouvelle base.

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1) La est un endomorphisme de Mn(K) si et seulement si :
i) La : Mn(K) -> Mn(K)
ii) La est une application linéaire.

i) évident
ii) Soit c € K et (M,M') € (Mn(K))², on a :
La(M + cM') = A(M + cM') = AM + A(cM') par distributivité de dans l'anneau matriciel Mn(K)
                 = AM + c(AM') car les scalaires filtres dans Mn(K)
                 = La(M) + cLa(M')
D'où La est une application linéaire.

La vérifiant i) et ii), on a donc La € L(Mn(K)), ensemble des application linéaires de Mn(K) dans Mn(K) c'est à dire, que La est un endomorphisme de Mn(K) dans Mn(K)

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2) Cas k = 0 (je préfère le traiter à part)
Par convention, quelque soit l'endomorphisme f, f^0 = Id (Fonction Identité pour l'espace vectoriel E)
Ici E = Mn(K) et
La^0(M) = Id(M) = M

Raisonnons par récurrence pour k > 0.
Hypothèse de récurrence : (*) : La^k (M) = (A^k)M
Cas k = 1 :
La^1 (M) = La(M) = AM = (A^1)M vrai.
Hérédité :
Supposons par hypothèse de récurrence, (La^k) (M) = (A^k)M vrai.
On a alors (La^(k+1))(M) = La((La^k)(M)) = La((A^k(M)) = A(A^k)M = (A^(k+1))M.
D'où (*) est vraie pour k = 1, et est héréditaire. (*) est donc vraie quelque soit k € N*.
De plus, puisque par convention A^0 = In (matrice identité n*n) et IM = M, l'égalité est vraie quel que soit k € N.

Finalement,
Quelque soit k € N, La^k(M) = (A^k)M

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3) Un polynôme Q quelconque de K[X] de degré n € N est de la forme :
a0 + a1.X + ... + an.X^n = SOMME(k = 0 à n) de (ak.X^k) avec quel que soit k € { 1 ; ... ; n-1 }, ak € K, et an € K*
D'où Q(La)(M) = SOMME(k = 0 à n) de (ak.La^k(M)) = SOMME(k = 0 à n) de (ak.A^k.M) = [SOMME(k = 0 à n) de (ak.A^k)]M = Q(A)M.

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4) Soit ma et mLa les polynômes minimaux respectifs de la matrice A et de l'endomorphisme La.
On sait que ( ma = mLa ) <=> ( ma | mLa et mLa | ma )

Appliquons l'égalité trouvée en 3) au polynôme ma.

On a ma(La)(M) = ma(A)M
Or ma est le polynôme minimal de A, par définition de celui ci, ma(A) = 0 et donc ma(La) = 0.
Or, tous les polynômes annulateurs de La sont des multiples de (sont générés par) mLa, d'où mLa | ma.

Appliquons maintenant à mLa

On a mLa(La)(M) = mLa(A)M
D'où
mLa(A)M = 0.
Ceci est vrai quel que soit M € Mn(K). Cette égalité est aussi vraie pour M € GLn(K).
Soit M une telle matrice, on a donc par multiplication de M^-1 à droite :
mLa(A) = 0
Et donc mLa est un polynôme annulateur de A, par la même justification que précédemment, on en déduit que ma | mLa.

Et donc finalement, on a bien ma = mLa.

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5) Nous savons qu'une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé et que toutes ses racines sont simple.
Puise mA = mLa nous avons les équivalences :
(A est diagonalisable) <=> (ma est scindé et toutes ses racines sont simples) <=> (mLa est scindé et toutes ses racines sont simples) <=> (La est diagonalisable)

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6) et 7) Il me faudrait une petite aide ^^.

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Exercice 2.

Soit Mn(C) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficient dans le corps C. On note I la matrice identité de Mn(C). Soit A et B deux matrices de Mn(C). On suppose qu'il existe une troisième matrice non nulle P € Mn(C) tel que AP = PB. Le but de l'exercice est de montrer que A et B ont au moins une valeur propre commune.

1) Construisez un exemple de 3 matrices carrées de dimension 2 telles que A != B, ainsi que AP = PB avec P non nulle, non inversible. Vérifier que votre exemple satisfait au résultat qu'on souhaite démontrer.
2) Supposons que P est inversible. Montrer que dans ce cas A et B ont exactement les mêmes valeurs propres.

Dans le reste de l'exercice, la matrice P est supposée non inversible, non nulle.
3) On adoptera la convention A^0 = B^0 = I. Montrez que l'on a (A^k)P = P(B^k) pour tout k € N
4) Soit m un polynôme de C[X]. Montrez que l'on a m(A)P = Pm(B).
5) Soient ma et mb respectivement les polynômes minimaux de A et de B. Montrez que si ma et mb sont premiers entre eux alors ma(B) et mb(A) sont des matrices inversibles.
6) Montrez que les matrices ma(B) et mb(A) ne sont pas inversibles.
7) Concluez

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1) J'ai pris :
P = (0 1)
     (0 0)

P est bien non inversible, car elle est nilpotente (c'est la matrice nilpotente de la décomposition de dunford)

A = (1 0)
     (0 0)

On a AP = P.

Et B = I ou
B = (0 0)
     (0 1)

Et on a dans les 2 cas PB = P
Et donc AP = PB
(En plus c'est joli ).
Ou dans la même idée avec la même matrice P on peut prendre plus généralement :

A = (1 a)
      (0 a')

B = (b b')
     (0 1)

avec (a, a', b, b') € C^4  tel que A != B.

Et on a toujours AP = P = PB.

Dans tous les cas, on remarque que les matrices A et B ont la valeur propre commune 1 et vérifient dont le résultat que l'on cherche à démontrer.

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2) Soit P € GLn(C) tel que AP = PB. On a alors :
AP = PB <=> AP(P^-1) = PBP^(-1) <=> A = PBP^(-1).

Et donc A est semblable à B et ont le même polynôme caractéristique, et les mêmes valeurs propres. (A est l'écriture de B dans une autre base, et sont toute deux semblable à la même matrice réduite en bloc de jordan, à l'ordre des blocs près).

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3) On utilise un raisonnement par récurrence.
(*) : (A^k)P = P(B^k)

Cas k = 0
On a (A^0)P = P = P(B^0) vrai.

Hérédité : on suppose (*) vrai au rang k.
Par hypothèse de récurrence :
(A^k)P = P(B^k) <=> (A^k)PB = P(B^k)B <=> (A^k)AP = P(B^(k+1)) <=> (A^(k+1))P = P(B^(k+1)).

La propriété (*) est donc héréditaire, étant vraie pour k = 0, elle est donc vraie pour tout k € N.

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4) Soit m € C[X] tel que deg(M) = n, n € N quelconque. On pose :
m(X) = sum(k = 0 .. n, ak*X^k) avec pour tout k, 0 <= k <= n, ak € C, an != 0.
On a m(A)P =  [sum(k = 0 .. n, ak*A^k)]P = sum((k = 0 .. n, ak*(A^k)P) = sum((k = 0 .. n, ak*P(B^k)) = sum(k = 0 .. n, P*ak*B^k) = P[sum(k = 0 .. n, ak*B^k)] = Pm(B).

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5) Puisque ma et mb sont premiers entre eux, alors ma et mb n'ont pas de facteurs non constant en commun. On en déduit donc que ma et mb n'ont aucune racine en commun. Et donc, puisque les racines du polynômes minimal sont les valeurs propres, on a pour tout c € Spectre(A), c !€ Spectre(B).

On va chercher à montrer que Ker(ma(B)) = {0}.
On peut écrire ma(X) = product(k = 1 .. r, (X - ck)^mk) où les ck représentes les racines distinctes de ma (les valeurs propres de A) et mk leur multiplicité respective dans ma. (On a bien sur m1 + ... + mr = n)
On a donc les (X - ck)^mk premiers entre eux, par le lemme des noyaux ont a
Ker(ma(B)) = Ker(product(k = 1 .. r, (B - ckI)^mk)) = sum_directe(k = 1.. r, Ker(B - ckI)^mk).

Or on a montré que les ck ne sont pas valeur propres de B, on a donc Ker(B - ckI) = {0}.
Et donc 0 n'est pas valeur propre de (B - ckI), et n'est donc pas valeur propre de (B - ckI)^mk, et donc (B - ckI)^mk est injectif, et donc Ker(B - ckI)^mk = {0}.
Puisque ceci est vrai quel que soit k, 1 <= k <= r, on a donc
Ker(ma(B)) = {0}.
Et donc ma(B) représente un endomorphisme injectif <=> endomorphisme bijectif et donc ma(B) est inversible.

On procède de la même manière pour montrer que mb(A) est inversible.

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6) On applique m(A)P = Pm(B) avec ma et on obtient :
ma(A)P = Pma(B) <=> 0 = Pma(B).

Supposons par l'absurde que ma(B) soit inversible. Il existe donc [ma(B)]^(-1) inverse de ma(B), et on a donc
0 = Pma(B)*[ma(B)]^(-1) <=> P = 0.

Or on a choisit P != 0, contradiction.

ma(B) n'est donc pas inversible.

On montre que mb(A) n'est pas inversible de la même manière.

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7) On a montré en 5) : pgcd(ma,mb) = 1 => (ma(B) et mb(A) inversible)
La contraposée est : (ma(B) et mb(A) non inversible) => pgcd(ma,mb) != 1.

Or par 6, ma(B) et mb(A) ne sont pas inversible, et donc ma et mb ne sont pas premier entre eux, et ont donc un facteur commun, et donc au moins une racine commune. Puisque les racines du polynôme minimal d'une matrice sont ses valeurs propres, alors A et B ont au moins une racine commune.
CQFD.

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Ben c'est good.
Niveau rédaction tu peux difficilement en mettre plus donc ca va.

Ok merci . Donc si tout est ok ça me rassure, j'ai pas perdu (plus d'algèbre linéaire depuis fin janvier, je savais plus trigonaliser en bloc de jordan , ni calculer une exponentielle de matrice, mais ça va, ça se rattrape vite ça).

Bon je rajouterai les 2 dernières questions ce soir, je fais une mini pause manger .

EDIT : Je viens de voir que tu as posté quand j'avais pas encore mis les 5 premières questions / réponses, il y a peut être du mauvais dans la suite

La suite m'a l'air bien
 
Juste un micro détail
Q3 2eme ligne k élement de 0 à n-1 avec tes notations.

Ok merci beaucoup
 
Tu veux dire je devrais plutôt écrire
 
k élément de 0 à n-1
 
plutot que
 
quel que soit k € { 1 ; ... ; n-1 }
 
?
 
Je précise quand même, k entier élément de 0 à n-1 ?
 
En tout cas merci, ça me rassure tout ça, je vais essayer de faire les 2 dernières sur feuilles pour commencer (par contre dans mes souvenir, je les avais pas réussi, enfin il me restait 5 minutes ou à peine plus ^^, j'aurai peut être besoin d'aide, vu que c'est plus frais, même si je vais prendre mon temps).
 
Au faite, tu es en quoi / ou tu as quelle formation ? (curiosité, je ne doute pas de la pertinence de ton jugement ^^)

J'ai rajouté la question 6 et 7, après y avoir réfléchis, je dois admettre que je bloque pas mal. Si quelqu'un pouvait avoir un indice ^^ (juste un indice, je compte bien faire quelque chose )

Personne pour un indice de ma question 6) et 7) ? ^^'

Rajout d'un second exo (celui qui est tombé au rattrapage de septembre)
 
Si quelqu'un pouvait me donner un indice pour les question 6 et 7 du premier exercice .
 
Et si quelqu'un a le courage de regarder mon second exo .
 
Merci à tous ceux qui passeront. Je suis dispo pour toute question également.

Tu peux être un poil plus précis, et expliquer un peu pourquoi ? Désolé j'ai certainement oublié quelques trucs . Snif .
En tout cas merci pour ta réponse .

alors (GAi) et (AiG) sont aussi des bases.
 
Tu veux dire, (PAi) et (AiP) ?
 
En faite, si tu as une base (ei), et que calcule son image par une fonction f inversible, alors la famille obtenue par (f(ei)) n'est pas seulement génératrice de l'image, mais est également sa base ?
Et ici on considère P cette fonction inversible, et on applique 2 fois cette propriété avec P et P^(-1) ?
Et isomorphisme = endomorphisme inversible ? (Bon j'en étais sur à 90% avant de te lire, à 99% maintenant ^^)
 
Si j'ai bien tout compris c'est un élément de première année qui s'est échappé de ma tête, le vilain .

Merci .
Désolé en dernier on a touché principalement qu'aux endomorphismes, mille fois pardon .

Et merci pour ton édit-démo, c'est tout con en plus ^^. (Faudra que je revois toutes les demo de L1 algèbre un de ces 4 ^^)

(J'ai l'habitude de ma prof en TD d'algèbre qui décapitait toute personne utilisant mal le vocabulaire ^^).

Me faudra une piste pour la dernière question exo 1, et un avis sur l'exo 2 ^^. Si quelqu'un a le temps !