Bonjour à tous!
Je dois rendre un exercice de théorie des jeux la semaine prochaine qui me semble très compliqué à résoudre! C'est pourquoi je me tourne vers la communauté Hardware pour me donner un coup de main. J'espère que l'un d'entre vous pourra me venir en aide! Voici l'énoncé:
 
 
 
Considérons une population d'individus (joueurs)matérialisée par le continuum N= [0,1], qui peuvent se déplacer soit en bus soit en voiture. En notant x, la proportion de la population qui se deplace en bus, le gain (net) de chaque joueur est donnée par U(a,x)=ua(x)-t(a). Où a appartient {B,V}, avec a=B si le joueur choisit le bus et a=V s'il choisit la voiture. ua(x) est l'utilité d'un joueur qui utilise le moyen de transport (a) lorsqu'une proportion x de la population se deplace en bus et t(a) est le tarif( prix du ticket de bus, de l'essence consommée en voiture pour couvrir la distance,...) que le joueur paye lorsqu'il utilise le moyen de transport (a). Nous supposons dans la suite que les fonctions d'utilité des individus sont quadratiques, de sorte que uB(x)=-1/2x²+5/4x et uV(x)=-x²+2x.
 
1) On pose dans un premier temps , pour simplifier, que les tarifs du bus et de la voiture sont égaux tels que t(B)=t(V)=1. Déterminez l'ensemble des optima sociaux et l'ensemble des équilibres de Nash de cette situation.
 
2) Supposons à présent qu'une première politique de transport soit envisagée, qui consiste à introduire de nouveaux péages. Ces péages augmenteraient le tarif pour les usagers en voiture et le ferait passer à 6/5. Quel serait le nouvel ensemble des équilibres de Nash*? Y aurait-il des équilibres de Nash socialement optimaux*?
 
3) Les autorités publiques envisagent à présent une politique de réduction du prix du ticket de bus comme alternative à l'introduction de péages. Cette mesure ferait passer le tarif à 18/25 pour les usagers du bus. Quel est l'ensemble des équilibres de Nash de ce nouveau jeu*? Y a-t-il des équilibres socialement optimaux*? Les équilibres mis en exergue sont-ils stables au sens où ils survivent lorsqu'on s'en écarte d'une distance arbitrairement petite*?
 
 
Merci par avance de l'attention que vous porterez à mon message.