1)
x=y.10^p
=> 10^p = x/y
=> p = Log(x/y)
=> p = Log(x) - Log(y)
Sachant que 1 < y < 10
Comme la fonction Log(x) est croissante, continue sur ]1,10[ et que Log(1) = 0 et Log(10) = 1
Alors,
0 < Log(y) < 1
Donc, Log(x) - Log(y) = E( Log(x) )
( Puisque tu enlève à Log (x) quelque chose qui est entre 0 et 1. )
Donc, p = E( Log(x) ).
2)
E(e^2007) = y . 10 ^ ( E( Log(E(e^2007)) ) )
= y . 10 ^ ( E( log(e^2007) )
E(Log(e^2007)) = E( ln(e^2007) / ln(10) )
= E ( 2007 / 2,302585 ) Comme d'après l'énoncé ln(10) ~2,302585
(Tu peux poser la division euclidienne de 2007 / 2,302585 à la main en t'arretant à la virgule)
= 871
On a donc 871 chiffres.
Tu peux vérifier en tapant sur ta calculatrice e^2007, tu auras quelquechose du type 4,25623 x 10^871
Voilà, j'avais la flême de faire mes maths, alors je fais celui des autres