Ben voila, je viens de passer en Terminale, mon prof m'a donner un DM que j'ai quasiment fini, mais il y a deux questions ou je bloque!! voici l'énoncé :
 
Dans un plan complexe muni d'un repère orthonormal (O;u;v). On considère les points M et M' d'affixes respectives z et z'. On pose z=x + iy et z' = x' + iy' où x, x', y et y' sont des réel.
 
J'ai déja prouvé que les vecteurs OM et OM' sont orthogonaux ssi Re(z'z barre) = 0, ainsi que les points O,M et M' sont alignés ssi Im(z'z barre)=0.
 
Mais je bloque à la question 3!
 
N est le point d'affixe z²-1. Quel est l'ensemble des points M tels que les vecteurs OM et ON soient orthogonaux?
 
J'ai essayé de partir de OM.ON = 0 <=>(x+iy)((x+iy)²-1) = 0
                                               <=>(x+iy)3 - (x+iy) = 0
                                               <=>(x+iy)3 = (x+iy)
                                               <=>(x+iy)² = 1
                                               <=>x + iy = racine1 ou x + iy = -racine1
 
Mais j'ai l'impression de ne pas être parti comme il le faut, pourriez vous m'aider?
 
Ensuite je vous donne la fin de l'énoncé, ou je bloque aussi un peu (mais je pense que je vais y arrivée sii je trouve la question précédente):
 
On suppose que z est non nul. P est le point d'affixe 1/z²-1
On cherche l'ensemble des points M d'affixe z tels que les points O,N et P soient alignés.
         a)Démontrez que (1/z² - 1)((z²-1)barre) = -z²barre module(1/z²-1)²
         b) En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble cherché.

Bah t'utilise pas la definition d'orthogonalite, c'est à dire R((Z²-1)(Zbarre))=0

A oué, commen j'ai pu passé a coté de sa, je mi met tou de suite et je poste se que je trouve, merci mirkocrocop!!!

Ben je trouve sa, vous allez me dire ske vous en penser (^ = puissance):
 
les vecteurs OM et ON sont orthogonaux => Re((z²-1)(zbarre))=0
                                                       => Re((z²-1)(x-iy))=0
                                                       => Re(z²x -z²iy-x+iy)=0
                                                       => Re(x(x+iy)²-iy(x+iy)² - x+iy)=0
                                                       => Re(x(x²+2iyx-y²)-iy(x²+2iyx-y²) - x+iy)=0
                                                       => Re(x^3+2iyx²-xy²-iyx²+2xy²-iy^3 - x+iy)=0
                                                       => Re(x^3+iyx²+xy²-iy^3 - x+iy)=0
                                                       => Re((x^3+xy²-x)+i(yx²-y^3 +y))=0
                                                       => x^3+xy²-x = 0
                                                       => x^3+xy² = x  
                                                       => x²+y² = 1
                                                       => L'ensemble des points M est le cercle de centre K(x;y) et de rayon 1.
 
QU'en pensez vous?

tu perds de une solution, tu divise par x, mais x peut valoir zero na?

Donc  
Pour tout x différent de 0, L'ensemble M est le cercle de centre K(x;y) et de rayon 1?

ui voila
donc si x=0 alors..

... je vois pas? alor il ny a pas d ensemble M?

x^3+xy²-x = 0 , tu aurais pu factoriser

x(x²+y²-1)=0 a ok, sa ve dire ke si x=0, y= racine 1 ou y= - racine1?

Un produit de facteur est nul ssi l'un des facteurs est nul.
x(x²+y²-1)=0 equivalent à
(x=0)ou (x²+y²-1=0  <=>x²+y²=1)

oui je suis d'accord, mais je ne vois pas se que sa apporte au raisonnement...

ah ca apporte beaucoup, tu me dis que les solution sont les complexes de module egal à 1, moi je te dis qu'il ya aussi les imaginaires purs

ben oui sé vrai, désolé je sui un peu long à la détente, merci, je m attaque a la question suivante^^

Pour la question 4)a°, jé un pti problème :
 
(1/z² - 1)((z²-1)barre) = (1/(x+iy)² - 1)(((x+iy)² - 1)barre)
                               = (1/(x²+2ixy-y²) - 1)((x²+2ixy-y²-1)barre)
                               = (1/(x²+2ixy-y²) - 1)(x²-y²-1-2ixy)
                               = (x²-y²-1-2ixy)/(x²+2ixy-y²) - x²+y²+1+2ixy
                               = (z²barre - 1)/z² - z²barre + 1
 
Et il faut que j arrive a : -z²barre module(1/z² - 1)²
Je ne suis pas trés loin mais je ne vois pas comment y arriver!!

je pense que t mal parti, deja on demarre avec 1/z² - 1)((z²-1)barre) et on veut que le denominateur soit (z²-1)² donc multiplie en haut et en bas par z²-1. et demontre ensuite que le numerateur vaut -z²barre module

Je pense que ji suis arrivé :
 
(1/z² - 1)((z²-1)barre) = (1/z² - 1)((z²(1-1/z²)barre)
                               = (1/z² - 1)(z²barre)((1-1/z²)barre)
                               =-z²barre module(1/z² - 1)²  
 Es que c'est sa?

J'aimerai bien que quelqu'un me dise si se que j'ai mis plus haut est juste ainsi que si ce que je vais écrire: (s il vous plait)
 
Im(z) = (z - zbarre)/2i
Donc :
Si Im(z) = 0 <=> z = zbarre
 
Ainsi :
(1/z² - 1)((z²-1)barre) = -z²barre module(1/z²-1)²  <=> ((1/z² - 1)barre)(z²-1) = -z²barre module(1/z²-1)²  
                                                                      <=> z²-1 = -z²barre (1/z²-1)
         
M est distinct de O donc z (=/=) différent de 0 ;
P et N sont distinct de O donc z =/=-1, z=/= 1, z =/= i et z=/= -i, ainsi :
 
z²-1 = -z²barre (1/z²-1) <=> z²(z²-1) = - z²barre (1-z²)
                                  <=> z²(z²-1) = z²barre(z²-1)
                                  <=> z²(z²-1) - z²barre(z²-1) = 0
                                  <=> (z²-1)(z²-z²barre) = 0
                                  <=> (z²-1)(z-zbarre)(z+zbarre)=0
 
Ainsi, z est un réel ou z est un imaginaire pur avec z=/= 0, z =/=-1, z=/= 1, z =/= i et z=/= -i.
Alors l'ensemble M correspond à l'axe des réels et à l'axe des imaginaires privés de l'origine ainsi que des points d'affixe -1, 1, i et -i.