Bonjour, j'aimerais une petite aide mathématique.
 
Soit un mobile composé de 2 parties :
- une masse utile, constante
- une masse combustible qui décroit linéairement en se transformant en énergie cinétique avec une certaine efficacité k (entre 0 et 1)
 
Le temps de trajet est t.gamma, avec gamma = racine(1-v²/c²).
 
Pb : gamma doit être intégré de v=0 à v_finale  
 
Et.. je n'arrive pas à trouver la primitive de racine(1-v²/c²), qui est de la forme racine(ax²+1), avec a = -1/c²
 
Qqun aurait une idée ? Voire, ô joie, la solution ?
 
 
merci

Ben, en intégrant par changement de variable, ça le fait pas ?

 
Surement mais je suis completement rouillé
Comment tu ferais ?
 
a+

Grrr... J'y suis presque, mais c'est pas encore ça.
 
Si j'arrivais à une forme u'u^a je serais sauvé, mais je ne trouve...
 
http://homeomath.imingo.net/primitiv.htm
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc5/integB.html
 
Un p'tit coup de pouce qqun ?

 
Oula, c'est assez loin pour moi, mais il me semble que ton intégrale s'y prête bien justement (qu'on m'arrête si je dis une bêtise) :
 
Tu poses v/c = cos(x)
 
Ton intégrale est équivalente à :
 
intégrale de : racine(1-cos²(x))*(-sin(x))*dx entre arccos(0) et arccos(vmax/c)
 
racine(1-cos²x), c'est sin(x) : ça tombe bien non ?
 
Donc : ton intégrale est l'intégrale entre arcos(0) et arcos(vmax/c) de sin²(x)*dx
 
Je te laisse la suite...

 
 
Ok je vais voir ce que je peux faire.
 
merci

 
Au fait, c'est l'intégrale de -sin²(x)*dx (et pas sin²(x)), et ça devient sympathique, car sin²(x), c'est un truc style 1 - cos(2x)/2 ou un truc comme ça.
 
Sinon, tu devrais demander sur le topic Maths...

Bon, j'ai fini par trouver
 
Je pose x=v/c
 
f(x) = racine(1-x²)
 
F(x) = 1/2 [x.racine(1-x²) + Arcsin(x)]
 
Donc voici la courbe (en vert)
http://cjoint.com/data/mhrPwkH2XY.htm
 
Bon, maintenant mon problème à la base c'est d'intégrer la durée du voyage  
t' = t.int(racine(1-x²)) x allant de 0 à x1
 
Si j'en reste à F(x), je trouve que la durée est nulle pour v nulle. Ce qui est absurde.
 
Donc j'imagine qu'il faut rajouter une cte d'intégration, mais... la seule solution qui ait un sens physique c'est  
 
t' = t[1-(x.racine(1-x²) + Arcsin x)/2]
 
Sur le graphique c'est la courbe rouge.
 
C'est pas rigoureux...
 
Où me gourre-je ?
 
a+

Non, ça ne peut pas être décroissant
 
Donc ça serait plutot  
 
t((x.racine(1-x²) + Asin x)/2+1)
 

 
J'allais le dire mais j'osais pas  

 
Pourquoi ne poses tu pas sin(x) = v/c ?
 
Tu n'arrives pas à un bon résultat avec la solution que je t'ai proposée ?

 
Et sinusite = mouchoir
C'est plus logique non?  

 
Bon alors je pose u(t)=sin(t)
 
int(racine(1-v²/c²)) de 0 à v1/c =
int(racine(1-sin²t)) de Arcsin(0) à Arcsin(v1/c)
 
1-sin² = cos²
sachant que la primitive de cos est sin
 
=> int(racine(cos²t))= int(cos t) = [sin t] de 0 à Arcsin(v1/t) + k
 
= v1/t + k
 
pour v1=0, l'ensemble est égal à 1, donc k=1
 
correct ?
 
 
 

 
Presque, c'est pas sin(t) qu'il faut intégrer, mais sin²(t) :
 
Pour le changement de variable ça marche comme ça :
 
Si tu poses t = g(x)
 
integ(f(g(x)).dx) = integ(f(t)*g'(t)*dt), mais pas entre les mêmes bornes bien sur.
 
Je te le détaille déjà dans un post un peu plus en haut.
 
De mémoire, il y avait parfois qq subtilités, à vérifier qd même.

 
 
 
Bon, je m'y suis remis : oui, oui. Je reprend ta méthode, Le Fab, Mais mais je n'y arrive décidement pas.  
 
Pour ceux qui veulent suivre, je remets tous le développement, pas besoin de remonter le fil.
 
Il s'agit d'intégrer d'une vitesse nulle à une vitesse vmax le facteur par lequel on multiplie le temps de l'observateur.
 
t=t'integrale(racine(1-v²/c²)dv) de v=0 à vmax
 
Le début est de Le Fab et après je continue comme un grand.
 
==========
 
Tu poses v/c = cos(x)  
 
Ton intégrale est équivalente à :  
 
intégrale de : racine(1-cos²(x))*(-sin(x))*dx entre arccos(0) et arccos(vmax/c)  
 
racine(1-cos²x), c'est sin(x) : ça tombe bien non ?  
 
Donc : ton intégrale est l'intégrale entre arcos(0) et arcos(vmax/c) de sin²(x)*dx  
 
Au fait, c'est l'intégrale de -sin²(x)*dx (et pas sin²(x)), et ça devient sympathique, car sin²(x), c'est un truc style 1 - cos(2x)/2 ou un truc comme ça.  
 
 
alors (moi) :
 
  int(-sin²(x)dx)= int((cos(2x)/2-1)dx)
 
= int(cos(2x)/2dx)-int(dx)
 
= [sin(2x)/2cos(2x)]-[x]+k de arccos(0) à arccos(vmax/c)
 
= sin(0)/()-sin(arccos(vmax/c))/ cos(2arccos(vmax/c))-arccos(0)+arccos(vmax/c)
 
=-sin(arccos(vmax/c)/cos(2arccos(vmax/c))+arccos(vmax/c)-1
 
extension : > sépare les valeurs bornes
a gauche vmax=0 à droite vmax=c
 
=-sin(arcos(0>1))/cos(2arccos(0>1))+arccos(0>1)-1
 
=-sin(0>pi/2)/cos(0>pi)+(0>pi/2)-1
 
=(0>-1)/(1>-1)+(0>pi/2)-1
 
=(0>1)+(0>pi/2)-1
 
=(-1>pi/2)
 
Bon maintenant, signification physique du bordel...
 
snif...
 
Impossible même d'imaginer que d'aller d'une vitesse initiale nulle à une vitesse finale comprise entre 0 et c, le nombre par lequel on multiplie le temps propre de l'observateur doive varier de -1 à pi/2.  
 
-t ça remonte le temps
t.pi/2 ça ressemble à rien
 
 
Ces bornes sont incongrues.
 
vala.
 
chui très malheureux, n'allez pas croire.
 
 
ça m'énerve car je suis sûr que c'est facile.
 
 
Mon royaume pour du Frameto !
(je vais dérouiller, je sens)
 
merci à qui veut bien.
 
a+
 
 

euh... c'est :
sin²x = (1-cos 2x)/2

 
 
ah ouais...
 

 
Arg ! Bourdel de parenthèses    
 
Je pensais que gilgamesh connaissais ça sur le bout des doigts aussi  

 
-- Frameto, je te dis
 
C'est ça la rouille, on vieillit
 
=

mdrrr j'ai eu une prof en 1ère et terminale... la trigo, j'oublierai plus jamais !!!!
 
edit : inutile de dire que j'ai été traumatisé

 
J'ai toujour trouvé ça un peu magique, la trigo...
 
un peu trop