tout est dans le sujet...  

ça sert à assurer la liaison entre deux zones séparées d'une WAN (d'un réseau étendu kwa ...) ou entre deux réseaux différents. il calcule aussi le meilleur itinéraire de transmission des paquets de données...
ça répond à ta question ?

ça sert à router les paquets

Ca peut aussi servir à assurer un équilibrage de charge entre plusieurs liaisons, et à plein d'autres trucs.

Et la différence avec un firewall?
Et la différence avec une passerelle?

firewall = protege ta machine ou ton réseau des attaques virusienes et hackeuses provenant de l'extérieur
 
passerelle = bah si g bien capté cai un pc qui a le rolle de routeur

Un firewall ça décide si un paquet doit passer ou pas, et non choisir quelle route il va emprunter.
 
Une passerelle, c'est un terme utilisé pour désigner le routeur qui s'"occupe" d'une station. On dit "untel est la passerelle vers le réseau x.x.x.x" quand untel est un routeur relié au réseau x.x.x.x, et qui va y permettre l'accès.

Donc en général le même serveur peut avoir plusieurs fonctions différentes.
Par exemple une machine hébergeant un partage ADSL pourrait être considérée comme un routeur/firewall/passerelle...

Si tu prends les couches ISO des réseaux   , tu as les ponts, les routeurs, les passerelles, les repeteurs.
Un repeteur amplifie le signal sans rien faire d'autre
Un pont prend en charge les couches basses ( méthodes d'accès ) par exmple il permet de passer d'un réseau Ethernet en réseau Token Ring, une passerelle prend en charge les couches basses et le protocole, par exemple de passer d'un réseau token ring netware en réseau ethernet IP.
Un routeur ne prend en charge que les couches 3 et 4, et permet de connecter des réseaux ce classes différenbtes, exemple tu as un réseau 13.202.33.XX pour le faire parler avec un réseau 15.303.55.XX il te faut un routeur ou un logicile de routage.En plus le routeur permet de filtrer les passages ( sécurité ), et d'imposer des chemins spécifiques pour les trames IP.
Il faut aussi savoir chercher sur le net        
vas voir ici http://christian.caleca.free.fr/routage/index.html

un routeur (un vrai) ne prend pas que le 3 et 4, ca va du 2 au 7, mais la fonction routage c est du 3