Combien fait 0^0? perso je dis 1, mais on me répond que non c'est indéfini. Sur le net y'a toute sorte de réponses. Qu'en pense hfr?

la calculatrice de windows me donne 1

indéfini d'après la Classpad

= 1

The following is a list of reasons why 0^0 should be 1.
 
    Rotando & Korn show that if f and g are real functions that vanish at the origin and are analytic at 0 (infinitely differentiable is not sufficient), then f(x)^g(x) approaches 1 as x approaches 0 from the right.  
 
From Concrete Mathematics p.162 (R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik):
 
    Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the functions 0^x and x^0 have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x^0=1 for all x , if the binomial theorem is to be valid when x=0 , y=0 , and/or x=-y . The theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0^x is quite unimportant.  
 
Published by Addison-Wesley, 2nd printing Dec, 1988.
 
    As a rule of thumb, one can say that 0^0 = 1 , but 0.0^(0.0) is undefined, meaning that when approaching from a different direction there is no clearly predetermined value to assign to 0.0^(0.0) ; but Kahan has argued that 0.0^(0.0) should be 1, because if f(x), g(x) --> 0 as x approaches some limit, and f(x) and g(x) are analytic functions, then f(x)^g(x) --> 1 .  
 
The discussion of 0^0 is very old. Euler argues for 0^0 = 1 since a^0 = 1 for a not equal to 0 . The controversy raged throughout the nineteenth century, but was mainly conducted in the pages of the lesser journals: Grunert's Archiv and Schlomilch's Zeitshrift. Consensus has recently been built around setting the value of 0^0 = 1 .

Ok merci, donc mes souvenirs de prépa ne sont pas totalement estompés, c'est égal bien à 1.

En fait non ; à cause du fait que la fonction (x,y)->x^y n'a pas de prolongement par continuité en (0,0)
 
Cela dit en algèbre la convention 0^0=1 est bien pratique.

 
Je rajouterais également que x^x a pour limite 1 en 0+
Maintenant ça reste une convention, tu peux faire sans.

Ha oui en fait il "suffit" d'étudier la suite de fonctions f(x,n) = x^n. Convergence uniforme, tout ça, oulala c'est loin  

Non y n'est pas limité aux entiers.

C'est surtout une convention qui arrange tout le monde !

Tiens si Card(E)=n et Card(F)=p , quelle est le nombre d'applications de E vers F ?

Je me souviens avoir appris ça en sup  
p^n non ?

Oui ; et si E et F sont vides ?

non, parce qu'une suite de fonctions tu l'étudies pour n -> +oo, ici il faudrait n -> 0.

Tout d'abord réponse à blabla : CE N'EST PAS UNE CONVENTION!
 
Vous semblez tous un peu tout mélanger...
 
Pour tout ensemble E,F, on note F^E l'ensemble des applications de E dans F, on voit que l'ensemble vide puissance l'ensemble vide a un élément.  
 
Ceci permet même de décider (si on en a envie..) que 0^0  = 1  n'est pas une convention mais un résultat trivial sur les cardinaux.
 
 
Pour le voir sur les fonctions, il faut relire la théorie (très basique...) des ensembles.
C'est en effet dans cette théorie, qu'on donne les définition générales (et très néanmoins limpides et simples) de fonction (ou application).
Je rappelle cette définition (ou une variante). On suppose simplement qu'on sait ce qu'est un couple    
 
Définition : on appelle application tout ensemble de couples tel que si (x,y) et (x,z) sont deux éléments de l'application, alors y = z
Explications : l'ensemble des x lorsque (x,y) parcourt une application f s'appelle l'ensemble de définition (ou domaine, ou ensemble de départ) de f et l'ensemble des y s'appelle l'ensemble d'arrivée (ou codomaine) (j'ai un peu triché avec cette définition car toutes mes applications vont être surjectives, peu importe), et bien sûr : si (x,y) € f alors y est noté f(x) (et oui il faut définir f(x)...)  
 
Affirmation : l'ensemble vide est une application, son domaine est vide, son codomaine aussi, elle est bijective, constante, etc  
 
 
Pourquoi ne pas utiliser autant que possible ce paradis (pour définir les objets de base des mathématiques) qu'est la théorie des ensemble ? Notamment avec son ensemble vide.
Prenons par exemple la définition de n!. Il y en a plusieurs possibles. Mais on peut dire que n! est le cardinal de l'ensemble des permutations de tout ensemble à  
n éléments. Et ça marche pour n=0, pas de convention, c'est le paradis !    
 
Même chose pour les coefficients du binôme avec paramètres nuls voire négatifs...

Un ouvrage où cela est traité en détail : le "Cours d'Algèbre" , de Roger Godement (Roger Godement est un Bourbaki).

Intéressant ! On m'avait pas mal répété que c'était une convention comme n'importe quel x^0, la "démonstration" est surprenante !

Allez maintenant on s'attaque au 1^(infini)

C'est une forme indéterminée tout comme 0^0 mais on sort du sujet là non ?

oui oui, c'était pour plaisanter

Comme mes courbes de Fisher !

je connais la loi de fisher et c'est tellement infâme que dès que j'ai vu courbes de fisher j'ai fui la section

Mon hameçon à tête de Poisson a fait fuir toutes les victimes potentielles !