Bonjour,
 
J'ai un probleme:
 
Le comité olympique de Pekin cherche a ebaucher pour la durée des jeux, 50 hotesses d'accueil. Une condition est exigée pour cet emploi : mesurer plus de 170cm
 
La taille d'une femme adulte peut etre modelisée par une variable aléatoire X de moyenne 155cm et d'ecart type 6cm, On suppose dc que X -> N(155,6)
 
On me demande de calculer, avec une precision de 10-3 la probabilité qu'une femme chinoise tirée au hasard dans la population mesure plus de 170 cm
 
J'ai trouvé 0,006
On note Yn le nombre de femmes verifiant la condition requise parmi n femmes choisies au hasad dans la population , ie:
Yn= \sum Zi   et
 
Zi=  
 
1 si Xi > 170  
0 sinon

On me demande d'exprimer E(Yn) en fonction de n, puis de donner en la justifiant une loi eventuellement approchée pour la v.a Yn lorsque n =>100
 
j'ai trouvé : E(Yn)= nE(Z), or comment trouver E(Z) ici ?

Considère que Zi est une loi binomiale avec la proba 0.006

E[Yn]  
= somme sur n des E[Zi] (linéarité de l'espérance)  
= somme des P[Zi = 1] (Zi est une bernoulli)  
= somme des P[Xi > 170] , Xi iid donc :
= np où p=0.006  
 
Ou sinon tu dis directement que Yn est la somme de n variables aléatoires Zi indépendantes de loi de bernoulli avec paramètre p donc Yn suit une binomiale avec paramètres (n,p) d'où E[Yn]=np
 
Et quand p tend vers 0 la loi binomiale converge vers une loi de poisson de paramètre np (si p et 1-p étaient du même ordre de grandeur, la loi binomiale convergerait vers une loi normale).