J'ai fait un petit problème de proba mais je ne sais pas du tout si c'est juste ou non    
 
Alors l'énoncé :  
Dans une bibliothèque, n livres sont exposés sur une étagère rectiligne et répartis au hasard.  
Parmi ces n livres, k sont du même auteur A, les autres étant d'auteurs tous différents.
Calculer la probabilité qu'au moins p livres de A se retrouvent côte à côte dans les cas suivants :
 
1) n=20, k=3, p=3
 
probabilité (au moins 3 livres de A se retrouvent côte à côte)= Arrangement de 17 parmi 20 / 20! =1/6 c'est à dire à peu près 16%
En effet, j'ai considéré qu'en tout il y avait 20 permutations d'où le 20! et que les cas favorables étaient les cas où les 3 livres restaient "fixes" et donc que les 17 autres permutent entre eux parmi les 20 (d'où mon arrangemement)
 
Le problème c'est que je ne pense pas que ce soit ca, puisqu'en effet les 3 sont toujours côte à côte mais il faudrai compter aussi les permutations de ces 3 livres entres eux ce que je n'ai pas pris en compte.
 
Merci beaucoup de m'aider  

Je peux me tromper mais :
nombre de possibilités de réparitions de 3 livres du même auteur : 18
Sachant que l'univers = 20
P(A) = 3/20 , avec l'évènement A : "le livre est du même auteur"
 
On a pour chacune des 18 répartitions p(A) probabilitées de caser 3 bouquins du même auteur.
Donc (3/20)*(3/20)*...*(3/20), ie (3/20)18 (fais un arbre si tu comprends pas)
 
Voilà mon avis

Je n'y arrive pas avec les probas, je serai d'ailleurs curieux d'avoir la réponse quand tu l'auras...
J'ai trouvé une solution en passant par le dénombrement mais elle est loin d'être simple, donc pas mal de chance d'être fausse    
 
Pour calculer la proba d'un événement en passant par le dénombrement, il suffit de calculer le rapport (nb de cas favorable)/(nb de cas total).
 
cas favorables : On considère qu'il y a 20 emplacements possibles pour notre étagère. On doit donc commencer par distinguer 2 situations : soit un bouquin est placé sur un des bords de l'étagère (2 emplacements possibles), soit un bouquin est au milieu (18 emplacements possibles). Il faudra pondérer nos réponses en fonction de cette hypothèse.
 
nb de choix pour le 1er bouquin : 20
 
nb de choix pour le 2ème bouquin :
  * 1ère situation  : 2 choix
|1|2|...  ou  |1|.|2|...
  * 2ème situation : 4 choix
...|1|2|...  ou  ...|2|1|...  ou  ...|1|.|2|...  ou  ...|2|.|1|...
 
nb de choix pour le 3ème bouquin :
  * 1ère situation : 1 choix
|1|2|3|...
|1|3|2|...
le 3ème bouquin ne peut se placer qu'à un endroit pour chacun des 2 choix du 2ème bouquin
  * 2ème situation : 2 choix pour les 2 premier cas du 2e choix, 1 choix sinon
...|1|2|3|...  ou  ...|3|1|2|...
...|2|1|3|...  ou  ...|3|2|1|...
...|1|3|2|...
...|2|3|1|...
 
Résumé :
1er bouquin : 20 choix
2ème bouquin : 2 choix pour la 1ère situation (2 emplacements sur 20) ou 4 choix pour la 2ème situation (18 emplacements sur 20)
  ==> nb = 2*(2/10) + 4*(18/20) = 76/20 = 19/5  (=3.8)
3ème bouquin : 1 choix pour la 1ère situation, 1 choix pour 2 cas de la 2ème situation ou 2 choix pour les 2 cas restants
  ==> nb = 1*(2/20) + 1*(2/4)*(18/20) + 2*(2/4)*(18/20) = 29/20  (=1,45)
17 autres bouquins : 17*16*...*1 = 17!
 
Finalement, nb de cas favorable = 20*(19/5)*(29/20)*17!
 
nb de cas total : on a 20 choix pour le 1er bouquin, 19 pour le 2nd...
 
D'où nb cas total = 20!
 
Conclusion :
proba recherchée = (20*(19/5)*(29/20)*17!)/20!
proba recherchée = (20*(19/5)*(29/20))/(20*19*18)
proba recherchée = 551/34200
proba recherchée = 1.6%
 
Bravo à ceux qui ont réussi à suivre jusque là    
 
Il y a certainement plus simple, mais le résultat semble correct

Beaucoup plus simple:
 
---------------------------------------------------------------------------------------
On est dans le cas particulier où  
 
Nombre de permutations des n livres sur l'etagere: n!
 
Nombre de façon de placer un bloc de p bouquins côte à côte sur l'étagère: n-p+1    (attention: il faut p<n)
 mais pour chaque possibilité on a p! façon d'arranger les p livres et (n-p)! façon d'arranger les n-p livres restant
 
Donc il y a (n-p+1)p!(n-p)! arrangements où nos trois livres sont côte à côte
Alors la probabilité est P= (n-p+1)p!(n-p)! / n!
 
Application numérique: P = 0,0158 environ P environ = 1,58%
----------------------------------------------------------------------------------------
 
Passons au cas general ou k peut etre > à p ...
 
c'est la meme chose:
 
n! permutations des livres
 
n-p+1 façon de placer un bloc de p bouquins côte à côte sur l'étagère
à chaque fois il y a k!/(k-p)! arrangements des p livres parmi les k
et (n-p)! permutations des livres qui restent
donc (n-p+1)*k!/(k-p)!*(n-p)! possibilité d'avoir p livres cote à cote
 
P= ( (n-p+1)*k!/(k-p)!*(n-p) )/n!
 
(si k=p on retrouve bien le bon résultat)
 
Jfloviou

Pas mieux

Desole je suis allergique a la proba, j'ai fait l'effort pour la term' mais apres j'ai jete

Vous en faites pas à l'insa ?    
 
Merci beaucoup à vous tous    
Le résultat est bien de 1.6 %   $
En fait j'ai eu td de proba à 8h donc j'ai demandé au prof qui avait la même façon de faire que jfloviou    
 
En tout cas merci à tous  

Non on en fait pas, et heureusement ~~

 
 
Je suis d'accord pour le cas particulier.  
Le cas général me semble faux.
Si vous avez la correction du cas général, ça m'interesse!

 
En effet le cas général est faux, car on compte alors plusieurs fois les mêmes permutations de livres...
 
Pour le cas particulier, il y a encore plus simple en raisonnant par combinaisons :
> n-p+1 façons de ranger 3 livres à la suite
> combinaisons(p,n) combinaisons possibles en tout
 
> Soit au final : (n-p+1)*C(p,n) = (n-p+1)p!(n-p)! / n!
 
Pour le cas général, j'ai peut-être trouvé...c'est très loin d'être simple car il faut décompter chaque permutation une seule fois...
 
Enfin bref après deux pages de calcul je suis arrivé à quelque chose : en définissant f(n,k,p) comme le nombre de combinaisons d'au moins p livres (avec k livres au total) dans n emplacements possibles,
 
f(n,k,p) = somme(j,0,n-p, avec p divisant j+1) somme(m,max(0,k-p-(j+1)*(p-1)/p),min(n-(j+p),k-p)) ...
... [C(m,n-(j+p)) * (C(k-m-p,j) - f(j,k-m-p,p))] + ...
... somme(j,0,n-p, avec p ne divisant pas j+1) somme(m,max(0,k-p-j+E[(j+1)/p]),min(n-(j+p),k-p) ...
... [C(m,n-(j+p)) * (C(k-m-p,j) - f(j,k-m-p,p))]
 
C'est bien moche est inutilisable à la main, mais programmable.
 
Dans le cas particulier où k=p, on retrouve la formule déjà donnée.
 
Désolé mais je n'ai vraiment pas le temps d'écrire tous mes calculs, alors voilà le principe :
on choisit un emplacement j correspondant au début de la première séquence de k livres en partant de la gauche,
on en met m à droite n'importe comment, et le reste à gauche de façon à ce qu'ils ne forment jamais de séquences de k livres : à gauche on peut donc soustraire au nombre de combinaisons totales le résultat donné par la fonction f...
 
N'hésitez pas à commenter...j'essaierai de mettre les calculs dans une semaine si quelqu'un le demande.
 
_iOn_

On pourrait déjà écrire le cas simple plus simplement:
 
P = p! x (n-p+1)! / n!
 
Une autre approche pour la démo du cas simple:
 
1. L'ensemble des possibles représente les permutations d'un ensemble de n éléments soit n!
 
2. Pour dénombrer l'ensemble des favorables il suffit de considérer un ensemble de n-p +1 éléments constitué des n-p  livres d'auteurs différents de A et d'un "super élément" X constituté des p livres écrits par A. Pour un ordonnancement donné de X, il y a (n-p+1)! permutations. X se décline en p! permutations.
Il y a donc p! x (n-p+1)! possibilités d'avoir les trois livres de A adjacents.
 
3. Synthèse:
P = p! x (n-p+1)! / n!
k = 3
n=20
P = 6 / (20 x 19) = 1,57 %

OK pour ta remarque concernant le cas général.
C'est bien un dénombrement que tu évalues. Or (n-p+1)p!(n-p)! / n! est une proba .

Bon pour le cas général c'est lourd.
On considère X un bloc de p livres.
On considère E l'ensemble les permutations de  X et des n-p autres éléments.  
#E = (n-p+1)!  
Cependant E ne constitue pas une partition de l'ensemble F des favorables à cause des "agglutinés".
Les agglutinés correspondent aux permutations où un livre de l'auteur A s'agglutine à gauche, à droite ou à droite et à gauche du bloc X.
L'ensemble des permutations non agglutinées Pi représente une partition de l'ensemble F des favorables. On a:
#F= #Pi x k!/(k-p)!
On note:  
E(Xy) les permutations agglutinées soit à droite soit à droite et à gauche.
E(xX) les permutations agglutinées soit à gauche soit à droite et à gauche.
E(xXy) les permutations agglutinées à droite et à gauche.
A l'ensemble des agglutinés.
On a
#A= #E(xX) + #E(Xy) - #E(xXy)= 2 x #E(xX) - #E(xXy)
#E(xX) = (k-p) x (n-p)!
#E(xXy) = (k-p)² x (n-p-1)!
#A = 2 x (k-p) x (n-p)! - (k-p)² x (n-p-1)!
#E= (n-p+1)!  
#Pi = #E - #A = (n-p+1)! - 2(k-p)(n-p)!+(k-p)²(n-p-1)!
= (n-p-1)![(n-p+1)(n-p) - 2(k-p)(n-p)+(k-p)²)]
après développements...
#Pi = (n-p-1)!((n-k)²+(n-p))
#F = k!/(k-p)!#Pi=k!(n-p-1)![(n-k)²+(n-p)]/(k-p)!
 
Enfin
P = #F / n! = k! (n-p-1)![(n-k)² + (n-p)]/[n!(k-p)!]

 
Oui désolé erreur, il fallait lire (n-p+1)/C(p,n) = (n-p+1)p!(n-p)! / n! , et ceci est bien une proba.

 
J'avoue avoir un peu de mal à comprendre...les agglutinés représentent-ils les cas où un livre de l'auteur ou plus est adjacent au bloc comme je l'ai compris ? Parce qu'à ce moment là on compte par exemple ce cas là plusieurs fois :
 
(pour n=20,k=6,p=3)
 
ooooXXXoooXXXooo
 
o < autres bouquins
X < bouquins de l'auteur
 
J'ai l'impression qu'on comptabilise cette situation à la fois en considérant que le premier bloc est le bloc "X" de p livres, et le reste un non-agglutiné, puis l'inverse.
 
Qu'en pense-tu ?

Oui ils ont oublié de dire dans l'enoncé que les bouquins de l'auteur A sont majoritaires.