Bonjour,
 
J'ai un petit problème au niveau des développements limités. En effet, considérons la formule de Taylor-Young  qui permet de calculer le DL à l'ordre n au point a :
 

 
Si on applique cette formule pour calculer le développement limité à l'ordre 3 au point 0 de (1+x)^α:  
 

 
Par ailleurs, considérons u une fonction :  
 

 
Pouvons nous remplacer x par u dans le DL calculé précédemment ? Je m'interroge en effet sur cette possibilité, car si nous appliquons la formule de Taylor-Young pour calculer le DL³ en 0 de u, alors on obtient :
 

 
En effet, j'ai remplacé u par sa valeur (0), mais si je remplace les dérivées successives de u par 0, alors j'obtiens un résultat toujours nul
 
Merci d'avance

connais-tu ton cours sur les dl?Si oui,tu devrais pourvoir répondre....

 
Si je poste, c'est que je ne peux pas répondre  

en fait, tu veux savoir pourquoi (1+u)puissancen différent de (1+x)puissancen c'est çà?

Non, je veux savoir si je peux prendre le DL de (1 + x)^alpha et substituer x par u. A mon avis, je ne peux pas car si je calcul le DL de (1 + u)^alpha avec u étant une fonction, alors je me retrouve avec des dérivées de u. Des dérivées qui sont apparues aussi avec x lors du calcul mais simplifié par 1 car x est une simple variable.
 
Par conséquent, je fait quoi des dérivées de u dans mon résultat final ?

Si f admet un développement limité à l'ordre n en x0, fini ou non, si le terme constant de f vaut a0 et
si g admet un développement limité à l'ordre n en a0, alors g o f admet un développement limité à
l'ordre n en x0, obtenu en développant la composée des développements limités de f et g.

non tu ne peux pas substituer x par u.....tu dois d'abord t'assurer que u tend bien vers 0 après tu peux substituer,mais u et x sont différents(u fonction,x variable) donc le résultat ne sera pas le même

Bah u c'est ça :  
 

 
Mais bon, moi j'arrive pas à calculer les DL³ en 0 de (1 + u)-¹, à cause de ces foutues dérivées. Et lorsque je tente tout simplement de dériver u, le résultat final correspond pas au corrigé. Alors que si je pose u'=u''=u'''=1, la c'est bon

si u tend vers 0 alors tu peux calculer le dl d'ordre 3 de u en 0 à partir du dl d'ordre 3 de (1+x)puissance n

donne moi l'énoncé de ton exo si tu veux je te le fais ce soir

u doit tendre vers 0 lorsque x tend vers quoi ?
 
Si c'est lorsque x tend vers 0 : ok. Sinon,

vers n'importe quelle valeur
 
 

 
Bah si x tend vers l'infini, u tend vers l'infini, donc ça marche pas  

c'est quoi ta fonction u?

 
C'est la premiere question de l'exercice 1 :  
http://kalhfr.free.fr/Divers/Jussi [...] orrige.pdf
 
 

si c'est le dl avec les fonctions exp,je ne vois absolument pas ou est la difficulté.....

Oui bah fait le et tu verras...
 
D'autre part, pas besoin de s'orienter vers l'exo pour eviter de répondre à ma quesiton de départ. Y'a personne d'autre qui pourrait m'éclairer ?

Si tu veux utiliser le dl composé tu n'as pas besoin de la formule de taylor......Tu utilise le dl usuel en l'appliquant à u t puis c'est tout.

 
Visiblement, tu n'as pas lu ce que j'ai écrit ou tu as du mal à comprendre.
 

 
La ce que tu essaies de me dire, ce que je peux remplacer la variable t du dl (1 + t)^alpha par u et prendre le même résultat (c'est ce que j'en ai compris en vue du peu de précision que tu apportes). Or, fait le DL à partir d'une forume de Taylor, et tu te retrouves avec des dérivées dont je ne sais quoi faire.

je ne comprends pas mal tu n'as pas besoin de dériver.....Tu veux un dl de (1+u) puissance n c'est çà?

juliansolo a raison:  
Tu peux remplacer la variable t du dl (1 + t)^alpha par u et prendre le même résultat. IL N Y A PAS DE DERIVEE a calculer ....
donc (1+u)^(-1) = 1-u+u^2-u^3
Reste à faire le DL3 de u^2 et u^3
T'obtient ainsi le résultat normalement

Bah je ne comprend pas ce retournement de situation, car tout a l'heure il disait tout autre chose :
 

 
Et je suis tout a fait d'accord avec ceci  

Il faut vérifier que u tende vers 0 et après tu peux substituer.  
(Là je m'étais directement mis dans le cas particulier de 1/(1+u) avec le u que tu avais donné. )
La raison a déja été donné par juliansolo :
Si f admet un développement limité à l'ordre n en x0, fini ou non, si le terme constant de f vaut a0 et
si g admet un développement limité à l'ordre n en a0, alors g o f admet un développement limité à
l'ordre n en x0, obtenu en développant la composée des développements limités de f et g.
 
 
 
 

Pour que u tende vers 0, il faut que x tende vers 0. Sinon ça ne marche pas. C'est bon ou pas ?
 
Rappel de u :
 

je vois pas où est ton problème
surtout que tu raisonnes avec des upsilon...ce qui va t'éviter des erreurs lors de la composition    

Bah on me dit que pour pouvoir substituer une variable t par ma fonction u, il faut que u tende vers 0. D'accord, mais il faut que u tende vers 0 pour quel valeur de x?
Car si x != 0, alors u ne tend pas vers 0 et je ne peux pas substituer.

non
tu peux tout faire  
 
en fait t'as fonction upsilon tend vers 0 quand x tend vers 0
donc oui si u ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0.....tu auras un truc qui sert à rien    
 
mais ça reste valable...

 
Wow, j'ai rien compris
 
Oui ma fonction upsilon tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Oui ma fonction u tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Par contre :
 
 
Qu'est ce qui ne sert à rien ?
 
 
Qu'est ce qu'il reste valable ?
 
En définitif, je n'ai toujours pas compris si u->0 pour x->0 uniquement satisfaisait la condition de u->0 pour substituer t par u  

oui j'ai pas été clair
 
en gros ce que j'ai voulu dire, c'est que quoi qu'il arrive tu peux substituer (notes tes fonctions upsilon1 et upsilon2)
 
sauf que si ton u ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0, et bien tu obtiendras une relation sans intéret...
 
mais bon je pense que c'est plus simple de travailler avec des O(x^n), et de connaitre son cours sur la composition de DL  

 
Ok, c'est ce que je voulais entendre
 
 
 
Je n'ai jamais travaillé avec des O(x^n), mais ta raison, j'vais essayé de revoir le cours parce que la ...  
 
M'enfin, dans un livre que j'ai acheté, ils expliquent avec les intégrales, chose qui n'est pas au programme de cette matiere, donc c'est un peu embetant

avec les intégrales ?
tu parles de la formule de Taylor avec reste intégrale ?
 
je pense qu'ils en parlent juste au début, après une fois que tu commences à vouloir faire des DL t'en as plus besoin

 
Yep, après ca part dans les polynômes toussa toussa  

mais là t'as fait une sup ?
ou bien t'es un lycéen qui essaie de faire le programme de sup ?

 
Ni l'un ni l'autre, je suis à la fac. C'est une matière de première année que je dois me tapper, étant en licence info.

ok tout s'explique
car en prépa on voit se chapitre très proprement et les profs ne tolèrent pas une parfaite maitrise de ce chapitre  

 

 
Moi, je suis passé directe à l'application avant de comprendre la nature même du DL, avec les polynômes toussa

ben si u ne tend pas vers 0, ca marche pas du tout même... vu que ce sont des formules de DL en 0...

 
bah si puisqu'il utilise des upsilons, et non pas des petits o  

Ca change rien, même en utilisant les epsilons ( je n'utilise d'ailleurs que ca, j'aime pas la notation de landau etc.) , c'est le même problème...