Bonjour pourriez vous m'aider pour cette exercice d'un DM de maths. J'ai un problème à partir de la question 3
Voila cet exercice:
On pose Q(X)=X²+1
Le but de cet exercice est de trouver l'ensemble E des polynomes P(X) de l'ensemble R tels que QoP=PoQ, c'est à dire P(X)²+1=P(X²+1)
On rappelle que seul le polynôme nul a une infinité de racines.
1) Soit P(X) un polynôme de E. Démontrer que P(X)=P(-X) ou que P(-X)=-P(X)
2) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=-P(X)
On définit la suite (Un) d'entiers par U(0)=0 et pour tout n de N, U(n+1)=Un²+1
a) Démontrer que pour tout n de N , P(Un)=Un
b) Prouver que l'ensemble {Un/ n appartient à N}
c) En déduire que P(X)=X
3) Soit P(X) un polynôme de R tel que P(-X)=P(X)
a) Prouver qu'il existe un polynôme R(X) tel que P(X)=R(X²)
b) En déduire qu'il existe un polynôme S(X) de R tel que P(X)=S(X+1)=SoQ(X)
c) Démontrer que si A(X) et B(X) sont deux polynômes tels que AoQ=BoQ, alors A(X)=B(X)
d) On suppose que P(X) appartient à E. Montrer alors que S(X) est un polynôme de E.
4) Soit P(X) un polynôme de E tel que P(-X)=P(X). D'après précédemment, il existe un polynome S1(X) de E tel que P=S1oQ
a) Démontrer que S1(X)=X ou qu'il existe un polynôme S2(X) de E tel que S1=S2oQ
Tant que c'est possible, c'est à dire tant que Sk(X)différent de X, on construit le polynôme Sk+1(X) de E tel que Sk=Sk+1oQ
b) Démontrer qu'il existe un entier n de N* tel que Sn(X)=X
c) Démontrer qu'alors P=QoQoQo...oQ. Quel est le degrés de P(X)?
5) a) Déterminer E
b) Calculer le polynôme de E de degrés 16.
Si vous pouvez m'aider pour les questions à partir de la question 3 car je suis vraiment bloqué à partir de la 3, je ne sais comment on montre que les polynôme R et S existent, je ne sais pas d'où partir.
Toutes les aides seront les bienvenues. Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
