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Sujet : D.M. spé maths
kelly0181 Ca y est !

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kelly0181 Ca y est !
nazzzzdaq UNE QUESTION PAR TOPIC
Créé un nouveau topic d'abord, je te donnerai la solution ensuite...
 
kelly0181 Je suis d'accord avec toi j'ai trouvé ça aussi ! mais je sais pas comment démarrer ! t'as fais cmt pr arriver là toi ? au pif cmme moi ou... ?
nazzzzdaq le réponse est:
il n'y a qu'une seule solution. Cette solution est  
x= 6
y=4
z=2
 
EDIT: C'EST FAUX (VOIR SUJET DEDIE)
nazzzzdaq Une question par topic stp!
kelly0181 Salut ! j'aurais besoin d'aide pr de la spé !
Trouvez les entiers tq xyz = 4(x+y+z) avec 0<x inférieur ou égal à y inférieur ou égal à z ! merci de me help c pr lundi ! ou au moins me dire de quoi tu pars !
Crossman8 ok merci pour cette petite précision .
nazzzzdaq On peut même montrer facilement que
x²+y²+z²= 3 mod(4) pour x,y,z impairs:
Soit n un entier,
n est impair soit n=1mod(4) soit n = 3mod(4) = -1mod(4)
par conséquent n²=1mod(4)
donc
Quelquesoit x,y,z impairs,
x²+y²+z²= 3 mod(4)
donc 1,3,5 satisfient la condition
(réponse encore meilleure pour le 1.)
nazzzzdaq Ben ça marche dans tous les sens.
La meilleure réponse pour le 1. est:
1^2=1mod (4)
3^2=1mod (4)
5^2=1mod (4)
par conséquent on a prouvé que
x²+y²+z² = 3 mod(4) avec (x,y,z) appartenant à {1,3,5} x {1,3,5}x{1,3,5}
Crossman8 Oui j'ai vu mais la question posée c'est pour x=1, y=3 et z=5 ?
 ou x=1, y=1 et z=1
     x=3, y=3 et y=3
     x=5, y=5 et z=5 ?
nazzzzdaq ca marche dans tous les sens puisque  
1^2=3^2=5^2 =1
Crossman8 C'est encore moi :) l'énoncé exact de la première question est :
 
1. Dans cette question on suppose n=2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.  
   Est ce que la question posée n'est pas plutôt pour x=1, y=3 et z=5 ? ( car cela marche aussi )  
Crossman8 A oui surtout et même seulement je crois ^^.
 
Merci de m'avoir aidé !
nazzzzdaq C'est surtout parceque q et q' sont des entiers...
Crossman8 J'arrive à (2^n) x (q + 1/2 + q' ) = 0
donc q + 1/2 + q' doit etre égal a 0 pour que l'équation soit bonne or c'est impossible car q et q' positifs.
nazzzzdaq Ben non je crois pas. Pour t'en assurer résouds:
2^(n-1) - 1 mod(2^n)=3 mod(8)
Crossman8 Et une dernière question est-ce que je peux rajouter que à partir du rang n>=3 : x^2+y^2+z^2 congru a (2^(n-1)) -1 [modulo2^n] ?  
est-ce vrai ?
Crossman8 J'avais tout fait comme toi sauf pour la conclusion ou je bloquais.
Merci pour tout nazzzzdaq :)
nazzzzdaq .
nazzzzdaq Bon ,en synthèse, on a:
 
Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]  
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
 
1^2+1^2+1^2 mod(4)= 3 mod(4)
3^2+3^2+3^2 mod(4) = 9 + 9 + 9 mod(4) = 1 + 1 + 1 mod(4) = 3mod(4)
5^2+5^2+5^2 mod(4) = 25 + 25 + 25  mod(4)= 1 + 1+ 1 mod(4) = 3 mod (4)
 

 
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)  

x -> x² mod(8)
1 -> 1 mod (8)
2 -> 4 mod(8)
3 -> 9 = 1 mod(8)
4-> 16 = 0 mod(8)
5-> 25 = 1 mod(8)
6 ->36 = 4 mod(8)
7 -> 49 = 1 mod(8)
 
pair + pair -> pair
pair + impair -> impair
 
donc, pour que x²+y²+z²= 7 mod(8), il faut que x²+y²+z² soit impair c'est à dire que:
- soit 1 terme sur 3 impairs -> 3 possibilités: {1,0,0}, {1,4,0},{1,4,4}. Aucune de ces trois possibilités vérifie x²+y²+z²= 7 mod(8)
 
- soit les 3 termes sont impairs -> 1 possibilité {1,1,1}. Cette possibilité ne vérifie pas x²+y²+z²= 7 mod(8)

         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]  
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:  
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)

pair + pair -> pair
pair + impair -> impair
Par conséquent, pour vérifier (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n] , il faut que x²+y²+z² soit impair, c'est à dire qu'il faut que soit un terme sur trois soit impair ou tous les termes soient impairs.
 
 

           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)  

x²=(2p)²=4p²=0 mod(4)
y²=0 mod(4) idem
z²=(2q+1)²=4q²+4q+1=1mod(4)
x²+y²+z²=1mod(4)

           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.  
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  

x, y ,z impair donc  
x= 2p+1  
y=2q+1  
z=2r+1  
 X²+y²+z² =  
4(P²+q²+r²+p+q+r)+3 = 8(p(p+1)/2 +q(q+1)/2+r(r+1)/2) + 3=  3 mod(8)
donc si X²+y²+z² = (2^n)-1[modulo2^n] = -1 mod(2^n) alors
3 mod(8) = -1 mod(2^n)
donc il existe q, q' tels que
8q+3=2^n x q' -1 soit
8 x (2^(n-3) x q' - q) = 4
2 x (2^(n-3) x q' - q) = 1
 
impossible si 2^(n-3) x q' - q appartient à N soit n >=3
Crossman8 Oui je comprends bien que c'est impossible pour n>=3
mais comment fais tu pour arriver à cette équation avec des q et q'    
en partant de 3[modulo8] = -1[modulo 2^n] ?
nazzzzdaq Putain j'ai encore fait faux (demain j'arrête la dope c'est promis).
Bon en fait il faut lire
4=8x(2^(n-3) x q - q'), tourjours impossible pour n >=3
Crossman8 "soit  
2=2^n x q - 8  x q'  
ou encore  
2=8x(2^(n-3) x q - q'), impossible pour n>=3"
 
Je comprend pas comment tu arrives a cette ligne, un peu plus de détais pour mon cerveau qui suit pas ^^
nazzzzdaq Non ma conclusion est fausse. (désolé).
En fait "(x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]"  est fausse à partir de n>=3  
 
on a montré que:
(x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8]
Donc si
(x^2)+(y^2)+(z^2) = (2^n)-1[modulo2^n] = -1  [modulo2^n]
Ca veut dire
3 [modulo8] = -1  [modulo2^n]
soit
2=2^n x q - 8  x q'
ou encore
2=8x(2^(n-3) x q - q'), impossible pour n>=3
Crossman8 Je comprend pas quand tu dis :  
 
 "Ben , pour tous xyz impairs et pour n >=1, la proposition est vraie."
car la dernière question montre que c'est faux justement (avec n = 3)
 
Ps: Le sous titre de la 2eme partie de l'exo est : " Etude du cas général  
      où n >=3 ".
nazzzzdaq QED
nazzzzdaq

Crossman8 a écrit :

Oui je me suis trompé la conclusion était pour tous impairs.
 
Mais la derniere question montre que la proposition ( dont on veut demontrer lexistence) est fausse pour tous impairs et de même ( la question d'avant) que c'est faux pour 2pairs et 1 impair.
 
Donc je suis un peu embrouillé car là on a lexistence que pour n=0 et n=1 et n=2 (avec que des impairs) et je pense que ta conclusion est fausse aussi ( cf derniere question ) éclaire moi stp   :pt1cable:  
 
 
Ps: merci pour prouver que (P²+q²+r²+p+q+r) divisble par 2 je l'avais pas fait avec les nombres consecutifs c'est pour ca que c'etait plus long ;)


Ben , pour tous xyz impairs et pour n >=1, la proposition est vraie.
Pour n = 0, la proposition est vraie quelquesoit x,y,z (c'est une conséquence du modulo 1...)

nazzzzdaq Non, en fait les deux première questions sont là pour te faire "réfléchir" sur des cas concrets. La troisième question est vraiment une généralisation pour tout n>=1.
Crossman8 Oui je me suis trompé la conclusion était pour tous impairs.
 
Mais la derniere question montre que la proposition ( dont on veut demontrer lexistence) est fausse pour tous impairs et de même ( la question d'avant) que c'est faux pour 2pairs et 1 impair.
 
Donc je suis un peu embrouillé car là on a lexistence que pour n=0 et n=1 et n=2 (avec que des impairs) et je pense que ta conclusion est fausse aussi ( cf derniere question ) éclaire moi stp   :pt1cable:  
 
 
Ps: merci pour prouver que (P²+q²+r²+p+q+r) divisble par 2 je l'avais pas fait avec les nombres consecutifs c'est pour ca que c'etait plus long ;)
 
nazzzzdaq Quant à la conclusion relis le début de l'énoncé:
"On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n] "
Conclusion:
ben oui, ça existe
Quand n = 0 x, y,z = n'importe quel entier de N
Quand n>=1 c'est lensemble des x,y,z tous impairs
nazzzzdaq x, y ,z impair donc
x= 2p+1
y=2q+1
z=2r+1
tu remplaces dans X²+y²+z² t'obtiens
4(P²+q²+r²+p+q+r)+3 = 8(p(p+1)/2 +q(q+1)/2+r(r+1)/2) + 3=  3 mod(8)
 
où est la récurrence?
nazzzzdaq et pour n >= 1
nazzzzdaq

Crossman8 a écrit :

Ma conclusion est (x^2)+(y^2)+(z^2)congru a (2^(n-1))-1 a partir du rang n=3 et je prouve ceci avec de la reccurence ( il faut bien le prouver non ?)
 
Et j'ai compris pour " (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)" car l'énoncé dit pour au moins 2 sur 3 qui soient pairs donc le dernier peut être pair ou impair.


pour x,y,z impairs non?

Crossman8 Ma conclusion est (x^2)+(y^2)+(z^2)congru a (2^(n-1))-1  a partir du rang n=3 et je prouve ceci avec de la reccurence ( il faut bien le prouver non ?)
 
Et j'ai compris pour " (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)" car l'énoncé dit pour au moins 2 sur 3 qui soient pairs donc le dernier peut être pair ou impair.  
 
nazzzzdaq

Crossman8 a écrit :

Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)


faux
edit c'est ok (j'avais pas compris le n=0

nazzzzdaq

Crossman8 a écrit :

Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)


Pas de récurence, normalement tout est simple.
 
Quelle est la conclusion générale de l'exo?

Crossman8 Juste pour me confirmer quelques réponses m'aider un peu :
 
-Ex.2 :       On etudie lexistence de (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
         1. n=2, Montrer que 1,3 et 5 satisferont a cette condition. ( c'est fait )
         2. n=3, Peut on trouver (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 7[8] ( j'ai trouvé que non avec tableau de congruences)
         3. On suppose qu'il existe 3 naturels tels que : (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a (2^n)-1[modulo2^n]
           a.Montrer qe l'on a l'alternative suivante:
               - ou x,y et z sont impairs.  
               - ou 2 parmi les 3 sont pairs.     (J'ai trouver que ca marchait aussi quand ils sont tous pairs et n = 0 ds ce cas)
           b.On suppose x et y pairs et z impairs. Montrer alors que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 1 [modulo4] et en deduire une contradiction (c'est fait)
           c.On suppose x,y et z impairs. Montrer que (x^2)+(y^2)+(z^2) congru a 3 [modulo8] et conclure.
            (c'est fait mais c'est assey long c'est normal? et pour conclure j'utilise une reccurence qui prouve(x^2)+(y^2)+(z^2)congru a 2^(n-1)-1  
             [modulo2^n] c'est normal aussi ?  :)

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