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CODAGE DECIMAL ET BINAIRE DES NOMBRES REELS
Ce codage s'inspire de la maniere usuelle d'ecrire les nombres reels (sur les afficheurs des calculettes, par exemple, ou par les programmes C, etc). L'ecriture scientifique des valeurs relelles, rappelez-vous, utilise la virgule pour marquer la partie entiere et partie fractionnaire d'un nombre. On peut toujours, pour ecrire un nombre, placez la virgule immediatement a gauche du premier chiffre non nul, en corrigeant par un facteur multiplicatif de la forme 10k, avec k entier. Un deplacement de la virgule a gauche donne une valeur k >= 0, et un deplacement de la virgule a droite, une valeur k < 0. on dit alors que le nombre est ecrit sous forme normalisee.
Exemple. Donnez la forme normalisee du nombre 40, 625; de 1/3.
Cette facon d'ecrire les nombres utilisent un resultat mathematique: tout nombre reels peut s'ecrire d'une maniere unique comme somme de puissance de 10, positive et negative. Cette somme ne fait intervenir qu'un nombre fini de puissance positive de 10, alors qu'elle peut faire intervenir un nombre infini de puissance negative. Par exemple, pour ecrire 1/3 sous forme <<decimale>>: 0.3333 ... C'est-a-dire qu'on a 1/3 = 3 x 10(-1) + 3 x 10(-2) + 3 x 10(-3) + .... On peut eneffet verifier que cette egalite est juste en utilisant l'identite classique: 1 + x + x2 + x3 + ... = 1/(1-x), si |x| < 1. En effet, avec x = 1/3, on trouve:
3 x 10(-1) + 3 x 10(-2) + 3 x 10(-3) + ...
= 3 x (10(-1) + 10(-2) + 10(-3) + ...)
= 3 x ( 1/(1 - 10-1) - 1) (puisqu'il manque le premier terme 100)
En passant, cette identitie est une consequence de l'identite 1 + x + ... + xn = (1-x(n+1)) / (1 - x).
De la meme maniere, tout nombre s'exprime comme somme de puissance de 2, positive et negative, avec la meme condition de finitude pour les puissances positives. Ainsi, on peut ecrire le developpement entier et fractionnaire d'un nombre reel en utilisant la virgule, comme pour la base 10. Et de la meme maniere, on peut normaliser cette ecriture: on corrige avec une puissance de 2 appropriee pour placer la virgule immediatemetn a gauche du premier chiffre non nul.
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