Oula, compliqué ton histoire.
Au niveau de la CAF ça ne doit pas changer beaucoup, que ce soit toi (rmiste) ou elle (étudiante) qui percevez l'aide, bien que je pencherai pour une aide plus conséquente en ta faveur (quoique tous deux devriez touchez le maximum si vous n'avez pas eu de revenu conséquent sur les années antérieures).
Pour le rmi voit si un changement d'adresse amène à fournir une quittance de loyer pour preuve, si c'est le cas (je ne pense pas), mets l'appartement au nom de ton amie et demande lui de te faire un certificat d'hébergement manuscrit.
Côté appartement, tu peux tout aussi bien le mettre à ton nom, du moment que tu choisis une agence (rare mais trouvable) qui soit à l'aise avec le système Locapass (fais une recherche dessus), système qui en gros propose quasiment sans condition de se porter garant pour les loyers, et/ou de t'accorder un prêt sans interêt pour le paiement de la caution de l'appartement.
Vous deux avez de faible revenus, ca sera délicat au niveau des agences.
J'espère que tu fais les recherches à l'avance et que tu ne comptes pas trouver sur place très rapidement (ça pourrait te forcer à payer des nuits d'hôtel, si tu n'as personne pour vous heberger quelques temps).
Pour le changement d'adresse, je ne crois pas qu'il soit mieux (ni même faisable) de "clôturer" ton dossier et le réouvrir, cela passera par un simple changement d'adresse, mais pour cela tu dois fournir le bail, bref un justificatif de domicile que tu n'auras pas avant d'avoir emmenagé.
Ce qui implique forcément un décalage à venir.
Le mieux qui puisse se passer est que tu emménages en début de mois et dépose ton dossier aussitôt à la CAF, qui avec un peu de chances sera traité sous 15/20 jours, et coïncidera avec la fin du mois et le versement de l'allocation.
Voilà tout ce que je peux te dire