Enoncé : "Trouver les coordonnées des points d'intersection du cercle et de la droite revient, par substitution, à résoudre une équation du second degré sur K 
2(x) = 0 ou P2(y) = 0."
En appelant M un point d'intersection de la droite et du cercle, les coordonnées de M(xM , yM) vérifient l'équation de la droite donc
axM + byM + c = 0 (1) (lire xM comme x indice M et yM comme y indice M)
ET vérifient l'équation du cercle
xM² + uxM + yM² + vyM + t = 0 (2)
De (1) on peut calculer xM en fonction de yM et en substituant dans (2) on obtient une équation du deuxième degré en xM (polynôme du deuxième degré en xM = 0) qu'il suffit de résoudre pour trouver les abscisses des points d'intersection. (Dans la pratique, on ne s'embarrasse pas de l'indice M et on écrit x à la place de xM mais il faut bien comprendre que x ne représente alors que les abscisses des points communs à la droite et au cercle).
Selon les valeurs de a, b, c, u, v, t, l'équation aura 2 racines et le cercle et la droite seront sécants, ou une racine double et droite et cercle seront tangents, ou pas de racine et la droite sera extérieure au cercle.
Quand on a trouvé les xM, en reportant les valeurs dans (1) [ou dans (2) mais c'est plus facile dans (1)], on trouve les yM.
OU
De (1) on peut calculer yM en fonction de xM et en substituant dans (2) on obtient une équation du deuxième degré en yM qu'il suffit de résoudre pour trouver les ordonnées des points d'intersection. (même remarque en ce qui concerne l'indice M), (même remarque en ce qui concerne les racines).
Quand on a trouvé les yM, en reportant les valeurs dans (1) [ou dans (2) mais c'est plus facile dans (1)], on trouve les xM.
Message édité par gipa le 26-09-2006 à 14:01:42
