Bonjour, je suis en terminal S et ayant de grande difficulté à démontrer la chose suivante je viens vous demander quelques pistes et un peu d'aide, merci d'avance
 
"On donne ln 10 ~ 2,302585
 
1). Pour x > 0, une représentation en base de 10 peut se mettre sours la forme x = y.10^p où p appartien a Z et     1 < y < 10. Démontrer que p = E(log10 x), E désignant la parti entière.
 
Dans log10 le 10 est en indice
 
2). Quel est le nombre de nombre de chiffres de l'écriture en base 10 de E(exp(2007)) ?"

(Log = log_10)
 
x = y.10^p
=> Log(x) = Log(y.10^p) puis tu développes (le Log a les mêmes propriétés que le ln)

1)
 
x=y.10^p
=> 10^p = x/y
=> p = Log(x/y)
=> p = Log(x) - Log(y)
 
Sachant que 1 < y < 10
Comme la fonction  Log(x) est croissante, continue sur ]1,10[ et que Log(1) = 0 et Log(10) = 1
Alors,  
 
0 < Log(y) < 1
 
Donc, Log(x) - Log(y) = E( Log(x) )
 
( Puisque tu enlève à Log (x) quelque chose qui est entre 0 et 1. )
 
Donc, p = E( Log(x) ).
 
2)
 
E(e^2007) = y . 10 ^ ( E( Log(E(e^2007)) ) )
 
= y . 10 ^ ( E( log(e^2007) )
 
E(Log(e^2007)) = E( ln(e^2007) / ln(10) )
= E ( 2007 / 2,302585 ) Comme d'après l'énoncé ln(10) ~2,302585
 
(Tu peux poser la division euclidienne de 2007 / 2,302585 à la main en t'arretant à la virgule)
 
= 871
 
On a donc 871 chiffres.
 
Tu peux vérifier en tapant sur ta calculatrice e^2007, tu auras quelquechose du type 4,25623 x 10^871
 
Voilà, j'avais la flême de faire mes maths, alors je fais celui des autres
 

Merci beaucoup Kuros^^