Reprise du message précédent :
@all
 
Merci pour les refs les gars !
 
J'ai regroupé quelques pdf, je vais regarder ça.
 
@malviviendo, System211
 

Ma nièce (c'est vrai c'est ma nièce ) passe en première et a un pb de géométrie pas résolu :
Dans un carré de 10cm de côté est inscrit un cercle, il a pour centre le centre du carré. Si on déplace de deux centimètres vers la gauche le centre du cercle, quelle est la surface de la partie gauche du carré délimité par le cercle, en dehors du cercle ?

Tu veux pas dire la partie gauche du cercle en dehors du carré ?
 
Sinon je comprends pas.
 
EDIT : ah si je crois avoir compris.

Je fais un piti dessin, un instant

Voila, il s'agit de calculer la surface orange sachant que le carré fait 10cm de côté moi je sèche.

Ok, c'est ce que j'avais cru comprendre.

Sachant que le cote du carré intercepté par le cercle fait 8cm, tu peux t'en sortir (de manière pas tres elegante certes) en calculant l'aire du cercle qui sort du carré et en comptant tes petits à la fin.
Mais le resultat sera moche (il l'est de toute façon).

Il peut aussi pareamétriser la courbe et faire une petite intégrale

C'est le plus simple oui.

Elle est en première.

J'ai pas compris. Je soumets ça à ma nièce, voir si elle connait les intégrales. Merki

Non. Elle ne connait pas, c'est certain.

Un prof un peu vicieux qui pose le pb avant de se barrer en vacances en leur disant que c'est pas simple

Non mais c'est possible juste en pensant "out-of-the-box".

C'est à dire ?

Bah, tu poses un problème de géométrie, tout élève de première pensera géométrie (et c'est possible). Si elle a fait un peu d'intégrale, elle doit pouvoir se débrouiller pour résoudre cela avec.

Thanks. Elle regarde les intégrations sur wiki

Non mais les intégrations elle verra ça en terminale, et encore pour le faire de manière géométrique ce sera dans le supérieur.
 
A mon avis c'est hautement inutile.

Azrail, je me permets de réutiliser ton dessin

C2= (0,0)
A = (-5*3/4 , 5) = (-15/4 , 5)
B = (0,5)
E = (-3,5)
D = (-3,4)

ABC2 = (15/4)  * 5 / 2 = 75/8
AED = 3/4 * 1 / 2 = 3/8

theta = 2*asin(DB/2 / 5) = 2*asin(sqrt(10)/10)
Portion_de_cercle =  5*5*theta/2 (avec theta en rad )

Machin qu'on veut calculer
= ABC2 - AED - Portion_de_cercle
= 75/8 - 3/8 - 50*asin(sqrt(10)/10)/2
= 9 - 25*asin(sqrt(10)/10)
= 0.95623614008394497

Mais effectivement, faisable sans intégral à priori

EDIT :
Ah ben  si finalement
J'ai corrigé thx jpl (jean-paul-louis ? )

B est à la verticale de C2

Merci beaucoup. Evidemment ça m'a pas l'air d'être du niveau d'une première, même scientifique    

à priori, cela ne fait intervenir que des notions abordées au collège, mais entre la vitrine des programmes, et ce qui en est retenu et compris par les potaches ...

Moi à priori, je pencherais pour une solution purement géométrique avec des découpages/ recollages d'aires comme Azrail sauf qu'elle m'a l'air fausse/incomplète (il oublie la portion qui n'est comprise dans aucun cercle et qui est délimitée par les projetés horizontaux de leurs centres, en bas et en haut).
Par contre là tout de suite je n'y arrive pas.

Oui, j'ai effacé ma proposition parce que j'ai essayé et elle ne fonctionne pas.

Elle fonctionne cependant si lors d'une étape on calcule la portion du cercle de centre C2 sortant du premier carré. Sauf que je ne sais pas comment le faire de manière purement géométrique.

Pareillement. Et si l'on sait juste calculer l'aire du morceau dont je viens de parler ainsi que celle de la portion de la lunule qui exclut ta portion de cercle sortante on peut aussi conclure.
A vous  

Ah ben il y a une autre méthode : http://villemin.gerard.free.fr/Geo [...] ctang2.htm

Je veux bien. Mais les fonctions trigonométriques réciproques ne sont absolument pas au programme de 1ère.

doit y avoir une méthode purement géométrique.

Elles sont au programme du collège : en 4eme, et en utilisant la calculatrice, on doit savoir retrouver l'angle en degrés en connaissant son cosinus (dans le triangle rectangle) , et en troisième, on doit savoir retrouver l'angle à partir de son sinus.

Ma méthode est purement géométrique.

La biographie de Grothendieck m'a donné envie de m'intéresser de plus près à la géométrie algébrique.
Connaissez-vous des ressources (livres par exemple) qui vulgarisent un peu le concept (sachant que j'ai conscience du coté très abstrait de la chose).? Quelles sont les références ?

Le SGA doit être accessible en ligne ici: http://library.msri.org/books/sga/
 
A+,

Bonjour
 
documentaire sur John Von Neumann(théorie des jeux, bombe A..)
https://www.youtube.com/watch?v=ct2sWiRg2mI

Neumann n'est-ce pas lui que son père montrait à ses invités car il pouvait mémoriser des pages du bottin ?

Je ne sais pas mais il a mémorisé jeune une histoire univrselle

 
 
Trop dur pour moi, il me faut un niveau intermédiaire, je n'ai pas de master en maths purs
Mais merci quand même, j'ignorais que ces conférences étaient dispo en ligne  

Bonjour,
 
Y a-t-il des statisticiens dans la salle ?
 
J'ai un fichier excel regroupant les réponses à une enquête.  
Je souhaiterais faire l'analyse de chaque question, mais également voir s'il y a des corrélations entre les réponses et les catégories interrogées, et aussi savoir s'il y a des corrélations entre les différentes réponses.
 
Le questionnaire contient 7 questions (dont la plus part des QCM).
 
Bien sûr vous la personne qui est intéressée sera dédomagée pour ce travail    
 
Si ce n'est pas le bon endroit pour demander ça, merci par avance de m'orienter

J'ai donné y a quelques temps des références accessibles. Tu peux filtrer sur mes messages récents.

En fait, la géométrie algébrique a la réputation (en partie vraie) d’être très abstraite. Mais à la base, il faut se rendre compte quand même que le sujet est très concret. La géométrie algébrique à la base, c'est grosso modo l'etude des lieux d'annulations de polynômes (à plusieurs variables) dans un espace projectif (complexe). Ou dit autrement les solutions d’équations polynomiales.
Dit comme ça c'est beaucoup plus concret et élémentaire que disons la géométrie différentielle ou l'analyse fonctionnelle.
Le problème c'est que ce cadre naïf, s'il est suffisant pour se poser des problèmes, et en résoudre de façon plus ou moins satisfaisante un certaine partie, montre vite ses limites pour résoudre des problèmes plus ardus, et ce qu'a compris Grothendieck (entre autres), c'est que c'est justement cette vision naïve qui était trop restrictive et qui empêchait de placer les problèmes dans le cadre dans lequel ils avaient une solution naturelle.
Mais il faut bien comprendre que ce qui reste le cœur de la géométrie algébrique (je met de cote la géométrie arithmétique pour le moment, qui est en quelque sorte un bonus, même si c'est vraiment ce qui intéressait Grothendieck) c'est ça, les zéros communs de famille de polynômes. Simplement pour attaquer les problèmes la dessus, il faut des outils qui ne sont pas élémentaires.
 
Je me permet de donner deux exemples qui, en germe, comportent une grande partie des idées derrière la théorie des schémas.
Placons nous dans le cadre affine, et regardons, dans C², les deux courbes y=x², et y=0, et imaginons qu'on s’intéresse à l'intersection de ces deux courbes (par exemple, admettons qu'on veuille définir une multiplicité pour les intersections des courbes, ce qui est un problème riche et important). Géométriquement c'est l'intersection d'une parabole et d'une droite tangente au sommet de la parabole, c'est un point. En fait le point (0,0).

Si on veut donner une équation de l'objet obtenu, on resoud le systeme {y=0; y=x²}, bien sur cela donne {x=0, y=0}, mais si on y regarde de plus pres, on s’aperçoit que les équations qu'on obtient naturellement sont plutôt {y=0, x²=0}, bien sur x=0 et x²=0 ont les même solutions, et quand on donne les équations correspondant à une intersection, on a plusieurs choix possibles, le point ici correspond également à l'équation {y^3=0, x^4=0}.
Une des idées de Grothendieck, pour enlever l'arbitraire de ce choix, est de considérer que des équations différentes (x=0 et x^2=0) ne définissent pas le même objet, même si elles ont les mêmes solutions. Cette idée est très importante et je vais expliquer pourquoi.

Supposons qu'au lieu d'intersecter la parabole y=x² avec y=0, on l'intersecte avec y=a, une droite parallèle à l'axe des abscisses. Alors les équations que l'on obtient sont {y=0, x²=a} qui possèdent deux solutions en x, si a est non nul. Le cas a=0 appairait comme un cas limite de cette famille d'intersections paramétrés par a, et le fait que l’équation de l'intersection pour a=0, soit x²=0 et pas x=0 garde en mémoire la géométrie locale de la situation.

Ainsi, pour Grothendieck, ce qui définit une variété algébrique (ou un schéma) ce ne sont pas les solutions des équations, mais les équations elles mêmes. Et on peut faire de la géométrie directement dessus. Mais il faut tolérer que des équations du genre f(x,y)=0 et (f(x,y))^2=0 (par exemple) ne représentent pas le même objet. Cela ouvre la porte à une vaste généralisation du concept de variété algébrique. Finalement une équation ou une famille d’équations, ça n'est ni plus ni moins qu'un idéal dans un anneau. Et on peut avantageusement abstraire la chose, pour englober tous les anneaux dans le traitement... Cela a l'avantage considérable de pouvoir géométriser des considérations arithmétique (mais je ne vais pas développer ça).

Ce point de vue, ouvre aussi la porte à un phénomène tout nouveau.
Quand on définit (dans le plan par exemple) une courbe par une équation, disons y²=x^3+1 (ce qu'on appelle une courbe elliptique), une façon de voir les choses est de dire que ce sont les point (x,y) du plan affine, dont les coordonnées vérifient l’équation. Une autre vision un peu plus générale, et de considérer x (resp. y) comme une fonction sur le plan affine, celle qui à un point associe sa 1ere coordonnée (resp. sa deuxième), et C:y^2=x^3+1 est le lieu d'annulation d'une fonction définie sur le plan. Si on regarde x (resp y) restreinte à C, on obtient deux fonctions, que je note toujours x et y, sur C, qui vérifient y^2=x^3+1.

Par exemple c'est ce qui se passe pour le cercle. On a deux fonctions cos et sin, définie sur le cercle, qui vérifient cos²+sin²=1, ce qui permet de définir un application entre le cercle, et les points du plan vérifiant x²+y²=1, en envoyant un point a, sur (cos(a), sin(a)) (qui s'avère être un isomorphisme). De manière générale, si on a des fonctions f1,...,f_p vivant sur une variété algébrique X, et que c'est fonctions satisfont H(f_1,...,f_p)=0, alors on dispose d'une application de X dans la sous variété de l'espace affine définie par H(x1,...,xp)=0, qui envoie x sur (f1(x),...,fp(x)).

Ainsi les équations entre fonctions sur une variété donne une facon de voir (localement) une variété dans l'espace affine.

Dans ce contexte là, quel sens donner à x²=0, comme équation pour définir le point. On dispose d'une fonction, x, définie sur le point, dont le carré vaut 0, dont la valeur vaut tout le temps 0, mais qui ne doit pas être considérée comme nulle, car sinon l'equation serait x=0, ce qu'on ne veut pas. On a donc sur nous nouvelles variétés, des fonctions, qui sont non nulles, mais dont une puissance est nulle! Ce qui n'arrivait jamais en géométrie différentielle, ou en géométrie algébrique (pre-Grothendieck). Ces fonctions là, jouent un rôle essentielles parce qu'elles permettent d’étudier les propriétés infinitésimales d'un objet.
J'explique brièvement comment (et je m’arrête là, promis   ).

Imaginons qu'on veuille étudier une fonction f (polynomiale donc infiniment dérivable), définie sur la droite y=0 (dans le plan, bref une fonction sur l'axe des abscisses comme on en voit à l’école), on peut évaluer f au point x=0, et ça donne bien sur f(0). Si on veut évaluer f au point x²=0 (qui n'est pas le même point!!), qu'est ce qui se passe? Et bien on peut écrire le développement de Taylor de f, comme f(0)+f'(0)x+f"(0)x²/2+... Mais x²=0 (et bien sur x^3, x^4 etc... aussi), donc si on "évalue" ce développement en x²=0, on obtient f(0)+f'(0)x. Autrement dit on obtient toute l'information à l'ordre 1 sur la fonction. Sa valeur et la valeur de sa dérivée. Ainsi l’évaluation de f au point x^n=0, vaut son développement de Taylor tronqué au rang n. C'est pour cela qu'on dit que le point (x^n=0) est le point "épaissi", il retient l'information de ce qui se passe dans un voisinage infinitésimal.

Bon bien sur appliqué au point, c'est pas vraiment révolutionnaire (même si conceptuellement un saut a été franchi), mais le point est que l'on peut maintenant appliquer ce langage a toutes les variétés et étudier des choses comme par exemple leurs déformations infinitésimales etc...

Bon je vais m’arrêter là, merci à ceux qui auront le courage de me lire.

 
 
Bravo et merci.
Ce début d'explication est formidable.
 
Merci pour les références également, j'ignorais en particulier que les textes de Deligne et Illusie étaient dispos en ligne.
 
Ne t’arrête pas, c'est très bien qu'un jeune chercheur soit à la fois aussi compétent, enthousiaste et pédagogue.